Calcular la velocidad de escape de una Súper Tierra

Calcular la velocidad de escape de una Súper Tierra

En clase, especulando sobre las soluciones a la paradoja de Fermi, aparece una idea interesante que dio base a la pregunta de este foro:

  • Una civilización desarrollada habita una Súper Tierra.
  • Para salir de esta Súper Tierra es necesaria una velocidad de escape mucho mayor que la de la Tierra.

¿Podemos ayudarlos a salir de su súper Tierra calculando la velocidad de escape de su planeta 10 veces más masivo que la Tierra y de radio 1.9 veces el radio terrestre?   M_{T}= 5.972 \: 10^{24}\: kg  (Masa de la Tierra) R_{T}= 6371 \, \:km           (Radio de la Tierra) —–

Tenemos dos tipos de energías que actuan sobre cualquier cuerpo que intente salir de la superficie de la Tierra: La cinética y la Gravitatoria. La energía cinética intenta impulsar al objeto hasta el infinito y la gravitatoria tiende a hacerlo caer al suelo. Es el resultado del enfrentamiento de estas dos fuerzas el que nos dirá si el objeto permanecerá atado a la superficie de la Tierra o saldrá de ella. A este duelo de energías lo conocemos como energía mecánica.

La velocidad de escape es la velocidad mínima que necesita un objeto para vencer la gravedad del planeta o cualquier otro astro y es la situación de equilibrio de estas dos energías la que nos permitirá obtener la velocidad mínima a la que el objeto se alejará hacia el expacio exterior.

E_{m}=E_{c}+E_{p}=0

E_{m}=\frac{1}{2}mv^{2}-\frac{GM_{p}m}{R^{_{p}}}

Igualando, tenemos

\frac{mv^{2}}{2}=\frac{GM_{p}m}{R^{_{p}}}

La velocidad que aparece en la ecuación no es otra que la velocidad de escape,

v_{e}^{2}=\frac{2GM_{p}}{R_{p}}

v_{e-tierra}=\sqrt{\frac{2GM_{p}}{R_{p}}}

De esta manera vemos que el cáculo de la velocidad de escape para cualquier planeta depende sólo de la masa y radio del mismo, aunque para acelerar el objeto hasta que alcance la velocidad de escape habrá que aplicar un a fuerza y ésta sí depende de la masa del objeto en cuestión.

Si contemplamos el cálculo de la velocidad de escape para una súper tierra, tenemos que:

v_{e-super-tierra}=\sqrt{\frac{2GM_{p}M_{T}}{R_{p}R_{T}}}

v_{e-super-tierra}=\sqrt{\frac{M_{T}}{R_{T}}}*\sqrt{\frac{2GM_{p}}{R_{p}}}

v_{e-super-tierra}=\sqrt{\frac{M_{T}}{R_{T}}}*v_{e-tierra}

De esta manera la velocidad de escape para la Tierra es de:

v_{e-tierra}=\sqrt{\frac{2*6.674 *10^{-11}\frac{Nm^{2}}{{kg^{2}}}5.9722 * 10^{24}kg}{6371*10^3m}}

{\color{Purple} v_{e-tierra}=11185.91379 m/s\approx 11.185 km/s}

Y la velocidad de escape de la súper tierra es:

v_{e-super-tierra}=\sqrt{\frac{M_{T}}{R_{T}}}*v_{e-tierra}

v_{e-super-tierra}=\sqrt{\frac{10}{1.9}}*11185.913m

{\color{Purple} v_{e-super-tierra}=25662.24621m/s \approx 25.662km/s}

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