Cálculo de la masa de la Luna

Se demuestra que, en un sistema formado por dos cuerpos que interaccionan de acuerdo con la ley de la Gravitación Universal, conocido el periodo P y la separación r entre ambos (por ejemplo, un sistema binario de estrellas) se puede calcular a partir de la tercera ley de Kepler, la masa combinada m1+m2 de los dos cuerpos.

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Para calcular la masa de la Luna utilizando su distancia a la Tierra y la masa de la Tierra, aplicaremos las leyes de Newton, específicamente la ley de gravitación universal. Esta ley establece que la fuerza gravitacional entre dos objetos es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre sus centros.

La fórmula de la ley de gravitación universal de Newton es:

$$F = G \frac{Mm}{r^2}$$

donde:

• (F) es la fuerza gravitacional entre los dos objetos,
• (G) es la constante gravitacional universal $((6.674 \times 10^{-11} \, \text{Nm}^2/\text{kg}^2))$,
• (M) es la masa de un objeto (en este caso, la Tierra),
• (m) es la masa del otro objeto (en este caso, la Luna),
• (r) es la distancia entre los centros de los dos objetos.

Para encontrar la masa de la Luna ((m)), podemos reorganizar la fórmula para resolver (m):

$$m = \frac{F r^2}{G M}$$

La fuerza gravitacional ((F)) que actúa sobre la Luna debido a la Tierra puede expresarse también como el producto de la masa de la Luna y la aceleración debida a la gravedad ((g)) que experimenta en su órbita:

$$F = m g$$

La aceleración gravitacional que la Luna experimenta debido a la Tierra puede calcularse utilizando la fórmula de la aceleración centrípeta ((a_c)), ya que la Luna está en una órbita circular alrededor de la Tierra:

$$a_c = \frac{v^2}{r}$$

donde (v) es la velocidad orbital de la Luna. La velocidad orbital de la Luna puede calcularse a partir de su periodo orbital ((T)) y la distancia a la Tierra ((r)):

$$v = \frac{2 \pi r}{T}$$

El periodo orbital de la Luna alrededor de la Tierra es de aproximadamente 27.3 días, o (2,360,880) segundos, y la distancia media de la Luna a la Tierra ((r)) es de aproximadamente (384,400) km, o (3.844 \times 10^8) metros.

Sustituyendo (v) en la fórmula de (a_c) y luego usando (F = m g) para encontrar (m), podemos calcular la masa de la Luna. Sin embargo, este enfoque requiere conocer la aceleración gravitacional ((g)) que la Luna experimenta, la cual está determinada por la masa de la Tierra y la distancia entre la Tierra y la Luna.

Dado que ya conocemos la masa de la Tierra $((M = 5.97 \times 10^{24} \, \text{kg}))$ y la distancia media a la Luna $((r = 3.844 \times 10^8 \, \text{m}))$, podemos calcular directamente la aceleración gravitacional en la Luna debido a la Tierra y luego usarla para calcular la masa de la Luna.

Primero, calculemos la aceleración gravitacional en la Luna debido a la Tierra:

$$g = G \frac{M}{r^2}$$

Sustituyendo los valores conocidos:

$$g = 6.674 \times 10^{-11} \frac{5.97 \times 10^{24}}{(3.844 \times 10^8)^2}$$

Calculemos (g) para obtener la aceleración gravitacional.

La aceleración gravitacional que la Luna experimenta debido a la Tierra es aproximadamente $(0.0027 \, \text{m/s}^2)$.

Ahora, para calcular la masa de la Luna, podemos utilizar la relación entre la fuerza gravitacional y la aceleración gravitacional. Sin embargo, dado que ya hemos utilizado la ley de gravitación universal para encontrar (g), y sabemos que (F = m g), directamente relacionar (g) con la masa de la Luna no es necesario en este contexto, ya que (g) ya incorpora la masa de la Tierra y la distancia a la Luna.

El cálculo inicial pretendía demostrar cómo se podría calcular la masa de la Luna a partir de principios fundamentales, pero en realidad, hemos utilizado estos principios para calcular (g), la aceleración gravitacional en la superficie de la Luna debido a la Tierra, basándonos en la masa conocida de la Tierra y la distancia entre la Tierra y la Luna.

Para calcular la masa de la Luna directamente a partir de la información dada, normalmente se requiere conocer la fuerza gravitacional entre la Tierra y la Luna, que depende de la masa de ambos cuerpos. Sin embargo, el enfoque correcto que hemos seguido aquí implica usar la ley de gravitación universal para entender la relación entre la masa de la Tierra, la distancia a la Luna, y la aceleración gravitacional experimentada por la Luna.

La masa de la Luna se determina más comúnmente a través de observaciones de las interacciones gravitacionales entre la Tierra y la Luna, y no se calcula directamente a partir de la aceleración gravitacional que hemos encontrado. La masa de la Luna, conocida a través de otros métodos, es aproximadamente $(7.34 \times 10^{22} \, \text{kg})$.

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Método de las masas combinadas Tierra - Luna

Siguiendo el enfoque sugerido al inicio de esta entrada, podemos calcular la masa combinada de la Tierra y la Luna utilizando la tercera ley de Kepler y la ley de la Gravitación Universal. Este método se basa en el hecho de que el cuadrado del periodo orbital ((T)) de un cuerpo alrededor de otro es directamente proporcional al cubo de la distancia media ((r)) entre los dos cuerpos, y esta proporcionalidad depende de la masa combinada de los dos cuerpos ((M + m)), donde (M) es la masa de la Tierra y (m) es la masa de la Luna.

La tercera ley de Kepler modificada para incluir la constante gravitacional universal ((G)) se expresa como:

$$T^2 = \frac{4\pi^2}{G(M + m)}r^3$$

Para resolver la masa combinada de la Tierra y la Luna ((M + m)), podemos reorganizar esta ecuación como:

$$M + m = \frac{4\pi^2r^3}{GT^2}$$

Datos Conocidos

• La distancia media entre la Tierra y la Luna ((r)) es aproximadamente ($384,400 \, \text{km})$ o $(3.844 \times 10^8 \, \text{m})$.
• El periodo orbital de la Luna ((T)) es de aproximadamente $(27.3 \, \text{días})$, lo que equivale a $(2,360,880 \, \text{s})$ (considerando $(27.3 \times 24 \times 3600)$).
• La constante gravitacional universal $((G)) es (6.674 \times 10^{-11} \, \text{Nm}^2/\text{kg}^2)$.

Cálculo

Sustituyendo los valores conocidos en la ecuación para calcular la masa combinada de la Tierra y la Luna:

$$M + m = \frac{4\pi^2(3.844 \times 10^8 \, \text{m})^3}{(6.674 \times 10^{-11} \, \text{Nm}^2/\text{kg}^2)(2,360,880 \, \text{s})^2}$$

Realicemos este cálculo para obtener la masa combinada de la Tierra y la Luna.

Después de realizar el cálculo, obtenemos que la masa combinada de la Tierra y la Luna $((M + m))$ es aproximadamente:

$$M + m = 6.03 \times 10^{24} \, \text{kg}$$

Este resultado representa la suma de las masas de la Tierra y la Luna. Dado que ya conocemos la masa de la Tierra $((M = 5.97 \times 10^{24} \, \text{kg}))$, podemos calcular la masa de la Luna ((m)) restando la masa de la Tierra de la masa combinada:

$$m = (M + m) - M$$

$$m = 6.03 \times 10^{24} \, \text{kg} - 5.97 \times 10^{24} \, \text{kg}$$

Realicemos esta resta para obtener la masa de la Luna.

La masa de la Luna ((m)) se calcula como aproximadamente:

$$m = 6.0 \times 10^{22} \, \text{kg}$$

Que es una buena aproximación a la masa de la Luna obtenido por otros métodos: $$m=(7.34 \times 10^{22} \, \text{kg})$$.

Este resultado nos da la masa de la Luna, utilizando la tercera ley de Kepler y la ley de la Gravitación Universal, a partir de la masa combinada de la Tierra y la Luna y la masa conocida de la Tierra. Este método ilustra cómo las leyes fundamentales de la física nos permiten deducir propiedades importantes de los cuerpos celestes en nuestro sistema solar.