Cuántica sin fórmulas – 15/24 – El efecto túnel

Tras un paréntesis más largo de lo que planeábamos (hemos estado sin una conexión decente a la red durante bastante tiempo), y aunque todavía seguimos de vacaciones unos días más, continuamos hoy con el artículo prometido de la serie Cuántica sin fórmulas. Desde luego, pedimos disculpas por haber tardado bastante más en dar señales de vida de lo planeado.

En el último artículo de la serie hablamos acerca del Pozo de potencial finito, llegando (como casi siempre en esta serie) a resultados contrarios a nuestra intuición, pero inevitables si aceptamos las formulaciones de Schrödinger y Heisenberg. Como espero que recuerdes, lo más extraño de todo era la capacidad de una partícula de llegar a lugares en los que, de acuerdo con la física clásica, no tiene suficiente energía para estar.

Hoy modificaremos ligeramente nuestro “pozo de energía” una vez más: en vez de limitarnos a tener una región en el interior del pozo y las paredes a los lados, complicaremos la cosa un poco más para hacerla más realista. Las conclusiones de nuestro experimento mental de hoy, si has entendido la serie hasta ahora, probablemente no serán demasiado chocantes – si es así y no te sorprendes, enhorabuena porque tanto leer y pensar ha servido de algo. Lo más interesante de la entrada de hoy no es tanto la conclusión inmediata del experimento mental, sino su importancia en el mundo a nuestro alrededor y como prueba de que todo esto de lo que hablamos no es simplemente palabrería: los globos de helio son una prueba de ello, como verás en un momento.

Espero que veas, además, cómo algo de lo que has oído hablar muchas veces (aquí en El Tamiz, sin ir más lejos) tiene una explicación perfectamente lógica y no demasiado complicada, si tienes la base necesaria para entenderla antes: y espero que, a estas alturas de la serie, tengas esa base. Hablaremos del efecto túnel.

Nuestro “pozo finito” de la entrada anterior tenía, como espero que recuerdes, tres regiones distintas. En el centro se encontraba el “interior” del pozo, en el que la energía requerida era nula y la partícula –en nuestro ejemplo, un electrón– tenía derecho a estar de acuerdo con Newton. A los lados de esa región central había sendos “escalones de energía”, de modo que el pozo estaba confinado por esas dos regiones de mayor energía:

Como siempre, en la horizontal se representa la dimensión espacial y en la vertical la energía necesaria para estar en ese punto. Y, como siempre, este tipo de diagramas se llaman “pozos de potencial”, pero puesto que las conclusiones son equivalentes al usar energía y casi todos estamos más familiarizados con ese concepto que con el de potencial, aquí usamos diagramas de energía.

El dibujo de arriba es algo así como un pozo en el suelo, de modo que las regiones laterales son el terreno y la central el fondo del pozo. Pero supongamos que esas dos regiones laterales no se extienden indefinidamente, sino que llega un momento en el que se acaban, y volvemos a tener una energía necesaria nula más allá de ellas: en ese caso no se trata tanto de un “pozo” como de una “caja” o un “cuenco”, que tiene bordes que confinan algo dentro, pero más allá de esos bordes la energía requerida es la misma que dentro de la caja:

Puede parecer al principio que la diferencia entre el diagrama de arriba y el de abajo es muy pequeña: al fin y al cabo, si estás encerrado dentro de un pozo o una caja, ¿qué mas da si más allá de las paredes hay algo, o las paredes se extienden hasta el infinito? Ah, pero a estas alturas, estimado y perspicaz lector de El Tamiz, espero que respondas rápidamente “¡Claro que importa, y mucho!”. Por supuesto que importa, porque de acuerdo con la mecánica cuántica no estás encerrado de manera absoluta.

Como vimos en el artículo anterior de la serie, existe una posibilidad de encontrar el electrón en la región “prohibida”. Esa posibilidad depende de la energía que le falta al electrón y de la distancia penetrada en la región “prohibida”, de modo que la probabilidad disminuye de forma exponencial con la distancia, pero no es nula:

En la región interior, en la que el electrón tiene derecho a estar clásicamente, tenemos una onda estacionaria que describimos en la entrada anterior. Dentro de la barrera, la función de onda disminuye exponencialmente. Imagina entonces que la región prohibida, la “pared de la caja” es muy delgada. Sí, la función de onda en la pared disminuye muy rápidamente, pero cuando llegamos al borde exterior de la pared la amplitud de la onda sigue siendo no nula, de modo que al llegar al exterior tenemos una onda de amplitud más pequeña que la del interior, pero que está innegablemente ahí.

Puedes imaginarlo, en términos de ondas luminosas, de la siguiente manera: la pared de la caja es un material absorbente. Pero sólo hay dos maneras de absorber completamente la onda de modo que no escape de la caja: o bien el material es absolutamente opaco y absorbente (la energía de la barrera es infinita, como en el artículo del Pozo infinito), o bien el espesor del material es infinito. En cualquier otra situación una parte de la luz conseguirá atravesar la barrera, aunque sea una parte muy pequeña. Una vez más la naturaleza ondulatoria, “borrosa” de la materia hace que las partículas se comporten de maneras incompatibles con la mecánica clásica.

Naturalmente, si la energía de la pared es muy grande comparada con la del electrón, o su espesor es suficientemente grande, la probabilidad de encontrar al electrón fuera de la caja es prácticamente nula. Pero, en cualquier caso, van a suceder dos cosas que no ocurrían cuando las paredes, como en la entrega anterior de la serie, eran infinitas:

En primer lugar, existe una onda “normal”, que no disminuye exponencialmente, fuera de la caja, puesto que si el electrón se encuentra ahí tiene la suficiente energía como para moverse libremente de acuerdo con la mecánica clásica. El material fuera de las paredes es “transparente”. Esa onda puede tener una amplitud muy pequeña si las paredes eran gruesas o de gran energía, pero siempre va a estar ahí, y representa al electrón que ha conseguido escapar de la caja.

En segundo lugar, recuerda uno de los conceptos que establecimos al hablar de la mecánica ondulatoria de Schrödinger: la probabilidad total de encontrar al electrón en alguna parte es siempre del 100%. Esto quiere decir que, si existe una probabilidad no nula de encontrar al electrón fuera de la caja, la probabilidad de encontrarlo dentro de la caja es más pequeña que antes. Cuanto más delgada sea la barrera y menor sea su energía, más se parecerá la onda dentro de la caja a la onda fuera, y más parecida será la probabilidad de encontrar al electrón en un punto dentro o fuera de la caja. Por el contrario, si las paredes son gruesas y “altas”, la onda dentro de la caja será casi idéntica a la del caso del pozo finito (tal vez un poquito más baja), mientras que la onda fuera de la caja será casi inapreciable.

El resultado gráfico es algo así:

También puede ayudarte a verlo la siguiente animación, en la que la probabilidad se representa con el brillo de cada punto en vez de con la altura de una función. En ella se observa un paquete de ondas que incide desde la izquierda sobre una barrera (la línea vertical gruesa). La mayor parte de la onda se refleja en la barrera (lo que representa la probabilidad de que el electrón rebote en la barrera), pero hay un tenue “fantasma” que atraviesa la barrera y continúa su camino por el otro lado:

Puesto que parece que el electrón atraviesa una barrera que no debería atravesar, como si hiciera un “túnel” a través de ella, este fenómeno se denomina efecto túnel. Desde luego, no hay ningún túnel y el electrón tiene todo el derecho del mundo a atravesar la barrera. Y, por supuesto, no tiene por qué tratarse de un electrón: cualquier partícula “encerrada” dentro de un potencial de cualquier tipo experimenta este fenómeno.

Como sucede con tantos otros efectos cuánticos, las probabilidades involucradas suelen ser tan pequeñas que no somos conscientes de ellos: si no fuera así hubiésemos desarrollado una mecánica que los incluyese desde el principio, y serían perfectamente intuitivos para nosotros. Pero esto no quiere decir que nunca se produzca el efecto túnel: se produce todo el tiempo en la naturaleza y explica cosas que eran imposibles de entender antes de conocerlo.

Algunos núcleos atómicos, al cabo de un tiempo relativamente corto, se desintegran de forma espontánea en otros más ligeros, liberando partículas alfa (núcleos de helio, formados por dos protones y dos neutrones) en el proceso. Uno de los ejemplos más conocidos es el del uranio-238, el isótopo más común del uranio (más del 99% del uranio natural es uranio-238). Como probablemente sabes, el uranio-238 es inestable y al cabo del tiempo se desintegra. Aquí tienes la reacción nuclear en cuestión, un ejemplo de lo que se conoce como desintegración alfa:

238U → 234Th + α

Lo que se produce entonces es un átomo de torio y un núcleo de helio (la partícula alfa). De hecho, la mayor parte del helio que existe en la Tierra ahora mismo es el resultado de esta reacción de desintegración. Y esa desintegración se produce en un momento determinado para cada átomo de uranio, un momento que es imposible predecir. Los científicos eran capaces de estimar la vida media de los átomos de uranio observando enormes cantidades de ellos y midiendo la rapidez con la que se desintegraban: esa vida media es, en el caso del uranio-238, de unos 4 460 millones de años, similar a la edad de la Tierra, de ahí que se utilice como método de datación a escala geológica.

Dicho de otra manera, si tienes un número muy grande de átomos de uranio-238 y esperas 4 460 millones de años, más o menos la mitad de los átomos iniciales se habrán desintegrado. Pero si miras un único átomo de uranio-238 de esa muestra, no hay manera posible de saber cuándo va a desintegrarse: puede hacerlo dos segundos después de que empieces a mirarlo, o tal vez no lo haga durante la vida del Universo. ¿Por qué diablos sucede esto, y qué determina que se produzca en uno u otro momento?

La respuesta la dio el genial Georgiy Antonovich Gamov (más conocido como George Gamow tras su huida de la Unión Soviética) en 1928, aplicando la mecánica ondulatoria de Schrödinger al núcleo atómico y utilizando las condiciones de contorno adecuadas. La fuerza nuclear que contiene las partículas en el núcleo actúa como una “caja de energía” similar a las que hemos dibujado en este artículo. Dependiendo de la estructura del núcleo, la “altura” y el “espesor” de las paredes de la caja es diferente.

De acuerdo con la mecánica clásica, las partículas del núcleo están confinadas en él y nunca pueden escapar, pues no tienen la energía suficiente, pero la mecánica cuántica y el efecto túnel permitían que, a veces, fuera posible encontrar una de esas partículas fuera del núcleo. Al calcular la probabilidad de que esto ocurriera, la vida media y la energía de las partículas alfa producidas utilizando las ecuaciones de Schrödinger, Gamov obtuvo resultados que coincidían perfectamente con los experimentales – la desintegración alfa era una consecuencia inevitable de la naturaleza cuántica de la materia.

Desde el punto de vista clásico, debía haber algo que desencadenase la desintegración, y el hecho de que no pudiéramos predecir cuándo se produciría era el reflejo de tener una información incompleta sobre el sistema (pero los físicos clásicos eran incapaces de decir qué era ese algo que desconocíamos o por qué no podíamos detectarlo). Pero, de acuerdo con Gamov, la incapacidad de predecir ese momento se debe a la propia naturaleza probabilística de los fenómenos naturales: no hay nada más allá que determine lo que no podemos predecir, la Naturaleza es impredecible por su carácter cuántico.

De modo que, cuando sostengas un globo de helio en la mano, recuerda que la mayor parte de ese helio es el resultado de una partícula alfa que escapa de un núcleo de uranio debido al efecto túnel. La mecánica cuántica no es sólo un manojo de ecuaciones, refleja la naturaleza del Universo en el que vivimos. Pero es que la cosa no acaba ahí.

Como he dicho al principio, la amplitud de la onda dentro de la zona “prohibida” disminuye muy rápidamente: lo hace de forma exponencial. Esto quiere decir que si, por ejemplo, la barrera se hace el doble de gruesa de modo que el electrón debe recorrer el doble de distancia por la zona “prohibida”, la probabilidad de encontrarlo al otro lado no es la mitad: es mucho más pequeña debido a la disminución exponencial.

Dicho de otro modo: la probabilidad de que el electrón atraviese la barrera es extraordinariamente sensible al espesor de la barrera, de modo que cambia bruscamente cuando lo hace el espesor, mucho más bruscamente que el propio espesor. Esto hace que se pueda emplear el efecto túnel para medir distancias con una precisión absolutamente increíble. Permite que, como de costumbre, trate de explicar cómo se logra esto de manera simple.

Imagina la siguiente situación: tenemos electrones confinados en una punta de metal finísima, y acercamos esa punta de metal a un material determinado. Los electrones no tienen suficiente energía como para saltar del metal al material… pero de acuerdo con la mecánica cuántica, algunos de ellos inevitablemente lo harán. La cantidad de electrones que lo consiguen “saltar” a través del espacio de separación entre nuestra punta de metal y el material depende de la distancia entre la punta y el material mediante el efecto túnel. Al variar la distancia de separación, la cantidad de electrones que “tunelean” varía de una manera tremendamente brusca – exponencialmentebrusca, lo que permite determinar esa distancia de separación con una precisión extrema.

Tan extrema, de hecho, que es posible alcanzar una resolución lateral de unos 0,1 nanómetros y una resolución en profundidad de unos 0,01 nanómetros, lo que permite, al traducir esa información a imágenes que podemos ver en una pantalla, visualizar átomos individuales. Si has entendido este artículo, comprendes como funciona un microscopio de efecto túnel.

¿Verdad que es irónico? Un efecto cuántico que hace imposible predecir cuándo cualquiera de esos electrones va a atravesar la barrera, un efecto que vuelve nuestro mundo “borroso”, nos permite ver la materia con una precisión y nitidez que no sería posible si el Universo fuera clásico. Nitidez a través de la turbiedad: la cuántica en estado puro.

En los próximos artículos de la serie empezaremos a zambullirnos en la llamada “cuántica moderna”, empezando con la elegantísima teoría de Paul Dirac y su notación bra-ket. Comenzaremos hablando del concepto de estado cuántico.

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Tomado de: Pedro Gómez-Esteban González. (2009). El Tamiz. Recuperado de: https://eltamiz.com/el-sistema-solar/