Cuántica sin fórmulas – 16/24 – Estados cuánticos

El nacimiento de la nueva serie sobre los Premios Nobel ha modificado los planes de la serie de Cuántica sin fórmulas: ya que hablaremos en aquella serie más en detalle sobre el valor de la constante de Planck, el artículo que habíamos anunciado para esta serie no tiene demasiado sentido; nos saltaremos, pues, el interludio en el que hablaríamos precisamente de esa constante para seguir con el recorrido normal por la cuántica.

Si has entendido los artículos de la serie hasta el momento (para los que no la han leído, mi recomendación es empezar por el principio), ya tienes superada –hasta donde puede estarlo– la llamada “cuántica antigua”: tienes una idea básica de la naturaleza cuántica del Universo y las consecuencias que eso tiene sobre los fenómenos que observamos; conoces las formulaciones de Heisenberg y Schrödinger y el hecho de que son equivalentes; entiendes el principio de indeterminación, la dualidad onda-corpúsculo de la materia… incluso, espero, has razonado conmigo y aplicado esos conceptos a casos concretos en los que se han puesto de manifiesto algunas de las “cosas raras” que suceden debido a la cuántica (el pozo de potencial infinito, el de potencial finito y el efecto túnel). A partir de ahora iremos más allá de la “cuántica antigua”.

En los próximos artículos (aún no sé cuántos harán falta) daremos un paso más en nuestro conocimiento de la cuántica avanzando más allá de Heisenberg y Schrödinger; seguiremos, en primer lugar, los pasos de Paul Dirac para establecer una notación complementaria (más moderna que las de aquellos dos físicos), y a continuación utilizaremos nuestros nuevos conocimientos para “atacar” otros problemas fascinantes relacionados con la cuántica – el principio de exclusión de Pauli, el entrelazamiento cuántico y otros asuntos igualmente fascinantes, asuntos que, sin ampliar algo nuestra base, no podríamos comprender igual de bien.

Digo esto porque nos esperan, a corto plazo, algunos artículos realmente abstractos (¡como si el resto de la serie hubiera sido fácil!), en los que hablaremos de cosas realmente raras y disociadas de nuestra experiencia, como hiperesferas de infinitas dimensiones, pero que son necesarias como herramientas para explicar con un mínimo de rigor (aunque sea lo accesible que siempre intentamos que sea) algunos de los conceptos y experimentos mentales posteriores. Ni qué decir tiene que intentaré poner el máximo número de ejemplos posible y no hacer artículos demasiado largos, sino más cortos y frecuentes – aunque rompa el ritmo normal de otras series. Mi intención es centrar cada artículo en una única idea básica y dejarla bien clara, sin mezclarla con la siguiente.

Empecemos esta nueva “etapa moderna” de la cuántica, por lo tanto, refinando los términos y conceptos que hemos venido empleando hasta ahora. En el artículo de hoy trataremos de establecer el concepto de estado cuántico de un sistema, y de paso empezaremos a introducir algunos aspectos de la notación bra-ket de Dirac. ¿Tienes las aspirinas a mano? Pues vamos con ello.

Los físicos de la primera etapa de la cuántica, y de los que hemos hablado extensamente a lo largo de la serie –Heisenberg, Schrödinger, Planck, Born, Bohr, Einstein, etc.– eran verdaderos genios. Todavía no deja de maravillarme el hecho de que, mirando a su alrededor, fueran capaces de notar la granularidad de las cosas que parecían continuas y, al mismo tiempo, la borrosidad de las cosas que parecían nítidas, y además de mostrar cómo ambos aspectos estaban inextricablemente unidos y hacían del Universo un lugar muy, muy raro.

Pero la siguiente generación de físicos, los que estudiaron la “cuántica antigua” como alumnos y la expandieron y asentaron en sus tesis doctorales y trabajos posteriores, aunque tuvieran la ventaja de disponer de las bases de la teoría, fueron también genios. Uno de estos “cuánticos de segunda generación” fue el británico Paul Adrien Maurice Dirac, cuyo nombre va a aparecer en los próximos meses en varias series y por razones diferentes – contribuyó al avance de la física en diversos campos, y lo que suele caracterizar a su trabajo, en mi opinión, es la exquisita elegancia que proporcionó a cualquier cosa que tocó.

En los próximos artículos de Cuántica sin fórmulas nos centraremos en un aspecto particular de su trabajo, que se inició en 1930 en su libro Principios de Mecánica Cuántica. En él, entre otras cosas, Dirac logra algo que aquellos que tenéis que ver con la informática probablemente entenderéis bien: toma las matemáticas “de bajo nivel” de Schrödinger y Heisenberg y las engloba bajo una serie de conceptos más elevados y menos detallados, como un lenguaje “de alto nivel” que permite una gran eficacia al estudiar sistemas cuánticos complejos.

En cierto modo, se trata de la misma tendencia que se observa desde los inicios de la cuántica: la elaboración de un aparato matemático de una tremenda eficacia para calcular resultados experimentales, a costa de un distanciamiento cada vez mayor entre las matemáticas empleadas y el mundo que vemos con los sentidos. No en vano el “¡Cállate y calcula!” que ya hemos mencionado en ocasiones anteriores, y que tan a menudo destilan –sin mencionarlo explícitamente– muchos textos académicos.

Sin embargo, aunque parezca extraño, a vosotros y a mí el trabajo de Dirac nos viene muy bien: puesto que la notación y conceptos introducidos por él son de más alto nivel que los de Schrödinger o Heisenberg, es posible utilizarlos con mayor soltura que los de aquéllos, pues no involucran tan a menudo fórmulas matemáticas espantosas – aunque, por supuesto, esas fórmulas estén implícitamente en la formulación de Dirac, y haga falta emplearlas para obtener muchos resultados experimentales en la práctica.

En primer lugar, Dirac establece el concepto de estado cuántico, que es una generalización de conceptos equivalentes en el caso de Schrödinger y Heisenberg (como, por ejemplo, la ecuación de onda). Antes de nada, definámoslo: un estado cuántico es un objeto matemático que contiene la información de que disponemos sobre un sistema físico; idealmente, si la cuántica es una teoría completa y conocemos el sistema perfectamente, un estado cuántico contiene toda la información acerca del sistema.

Sé que, dicho así, definir un estado cuántico parece casi no definir nada, pero ahí está parte de la potencia de la formulación de Dirac: que ese objeto matemático puede ser casi cualquier cosa. Por ejemplo, si recuerdas los artículos sobre la ecuación de onda de Schrödinger, la función de onda contiene la información que conocemos sobre el sistema y, manipulándola, podemos obtener esa información para predecir lo que observaremos si realizamos medidas sobre el sistema – por lo tanto, podemos describir el estado cuántico mediante la función de onda… o, si queremos, mediante la mecánica matricial de Heisenberg, o mediante lo que nos dé la gana, no importa: cualquiera que sea el formalismo matemático que haya debajo, lo que estamos describiendo es el estado del sistema de una manera concreta. De ahí que el estado sea un concepto de mayor nivel.

Puesto que hablamos a muy alto nivel, podemos utilizar las palabras o los símbolos que nos vengan en gana para referirnos a un estado de un sistema determinado (para calcular cosas concretas sobre él, sí tendremos que ir a más bajo nivel, pero eso ya es otra historia). Permite pues, estimado y paciente lector, que elija una manera de referirnos a un estado determinado de un sistema para no tener que estar repitiendo todo el tiempo “el estado x del sistema”, como hizo en su momento Dirac. Si un sistema se encuentra en un estado EE determinado, lo representaremos así: ∣∣E⟩|E⟩. En próximas entradas hablaremos más a fondo del porqué utilizar ese “paréntesis” tan raro para encerrar al estado, pero por ahora simplemente utilicemos esta notación.

Date cuenta de la potencia (debido a su grado de abstracción) de esta notación, y la brevedad que permite al expresarse. Imagina que el sistema que estamos estudiando es el Universo completo; decir, en notación de Dirac, “Universo: ∣∣Ψ⟩|Ψ⟩” es la afirmación de que tenemos la información del Universo como sistema; de todos los estados posibles de todas las partículas que lo componen, el Universo se encuentra en el estado ΨΨ (que es la letra griega psi mayúscula, una gran amiga de los cuánticos por razones históricas). Claro, el grado de abstracción también significa que parto de la base de que soy capaz de definir ΨΨ con más detalle, o realmente no conozco nada.

Si estuviéramos hablando de mecánica clásica y la cuántica no existiera, entonces conocer el estado de un sistema (es decir, tener un objeto matemático que contenga la información del sistema) nos permitiría saber exactamente qué va a suceder en el sistema en cualquier momento del futuro: por ejemplo, conociendo la posición y la velocidad de una partícula podemos saber exactamente dónde va a estar en cualquier otro momento. Esto quiere decir que sería equivalente decir el electrón está en el estado ∣∣c⟩|c⟩ que decir conozco todas las magnitudes relevantes al movimiento del electrón y soy capaz de conocer exactamente dónde va a estar en cualquier momento.

Sin embargo –y es esencial comprender esto para entender lo que viene después– conocer exactamente el estado cuántico de un sistema no permite saber perfectamente lo que vamos a medir si lo observamos (sí, la razón es el principio de indeterminación, por supuesto). Cuando conocemos perfectamente el estado de un sistema, eso quiere decir que somos capaces de predecir la probabilidad de medir un valor determinado de las magnitudes observables en el sistema. Creo que esto, si has seguido la serie desde el principio, está ya superado… pero no te confíes.

Es muy probable que estés pensando que no he dicho casi nada, y que entiendes el concepto de estado cuántico perfectamente. Las malas noticias son que posiblemente no lo has entendido, y un ejemplo te lo pondrá de manifiesto; las buenas noticias son que, normalmente, al darte cuenta de que no lo entendías comprendes también por qué, de modo que lo entiendes de verdad. (También es posible que lo hayas entendido perfectamente desde el principio, claro – enhorabuena, porque casi nadie lo logra a la primera).

Utilicemos un ejemplo aparentemente estúpido y simple, pero que debería ser revelador. Supongamos que nuestro sistema es una moneda, y que el único aspecto relevante para nosotros es si muestra cara o muestra cruz cuando la miramos (da igual, por ejemplo, su color o su temperatura). La moneda, para que no podamos verla sin más, está dentro de una caja cerrada: observar la moneda significa abrir la caja y mirar dentro. Recordarás que ya hablamos de un ejemplo similar en la serie hace algún tiempo.

Bien, si no has entendido realmente el concepto de estado cuántico, dirás que este sistema puede encontrarse en dos estados, que podríamos llamar ∣∣cara⟩|cara⟩ y ∣∣cruz⟩|cruz⟩. Repito: si piensas así es que no has entendido lo que es un estado (te sorprendería cuántos físicos hay por ahí que no lo han entendido, por muchas fórmulas que usen).

Si piensas así es probablemente porque confundes la moneda con el estado: el estado no es la moneda, el estado es toda la información que tenemos sobre la moneda. Efectivamente, cuando miramos la moneda ésta nos muestra únicamente dos posibilidades – o cara o cruz. Pero la clave de esa frase es “cuando miramos la moneda”. El estado de la moneda no es el mismo antes y después de mirarla, y el estado –al representar la información que tenemos del sistema– depende de lo que sabemos acerca de la moneda. El estado está definido en cualquier momento, no sólo cuando miramos la moneda, y nos permite predecir lo que veremos si la observamos. ¿Ves por qué no lo habías entendido, y cómo es realmente la cosa?

Imagina, por ejemplo, que con nosotros está Paul Dirac. Dirac agita la caja cerrada muchas veces, de maneras aleatorias, y luego la deposita sobre la mesa. ¿Cuál es el estado de la moneda? ¿Ves que no es ∣∣cara⟩|cara⟩ ni ∣∣cruz⟩|cruz⟩? No, no me digas que “es ∣∣cara⟩|cara⟩ o es ∣∣cruz⟩|cruz⟩ pero no sabemos cuál de los dos”: el estado de la moneda está definido en todo momento para nosotros, y es el que nos permite predecir lo que vamos a observar si miramos la moneda. En este caso, evidentemente, si la única información que existe es que la moneda se ha agitado aleatoriamente y lo único que queremos predecir es si ha salido cara o ha salido cruz, no hay mucho que decir (sí hay algo que decir, pero hablaremos de eso en el próximo artículo). Lo que quiero que veas es que hay, al menos, un tercer estado además de ∣∣cara⟩|cara⟩ y ∣∣cruz⟩|cruz⟩.

Llamemos, por ahora, ∣∣agitada⟩|agitada⟩ a ese estado, y ya nos preocuparemos luego de cómo obtener más información sobre él. Pero es que, además de ∣∣cara⟩|cara⟩, ∣∣cruz⟩|cruz⟩ y ∣∣agitado⟩|agitado⟩ hay más estados posibles, dependiendo de la situación inicial del experimento y de lo que conocemos sobre la moneda.

Por ejemplo, supón que Dirac nos informa de lo siguiente: se va a llevar la caja con la moneda. Va a agitar la caja durante un rato de forma aleatoria, y entonces va a abrir la caja: si la moneda muestra cara, la va a dejar como está, pero si la moneda muestra cruz, va a volver a agitar la caja una vez más de forma aleatoria y ya está (no va a mirar cómo está la moneda una segunda vez). Una vez nos ha dicho esto, el buen Paul se lleva la caja y realiza ese proceso –puedes fiarte de él, ¡es Paul Dirac!– para, finalmente, dejar la caja sobre la mesa frente a nosotros.

¿Cuál es el estado de la moneda? A estas alturas, deberías ser capaz de ver que ni es ∣∣cara⟩|cara⟩, ni es ∣∣cruz⟩|cruz⟩ ni tampoco es ∣∣agitada⟩|agitada⟩. Recuerda que el estado nos permite predecir la probabilidad de ver una cosa u otra cuando observemos la moneda, y debería ser evidente que antes, al agitar la caja una vez, había un 50% de probabilidad de ver la moneda como “cara” al abrir la caja y un 50% de verla como “cruz”, mientras que ahora las probabilidades han cambiado (da igual cuánto valen por ahora, lo importante es que no son las mismas de antes y, por lo tanto, el estado no es el mismo). ¡No hay tres estados, hay al menos cuatro!

Pero podría inventarme muchísimos otros experimentos que podría realizar Dirac con la caja, informarte de ellos y luego preguntarte sobre el estado de la moneda. La realidad está, como suele suceder en esta serie, peleada con la intuición: no hay un estado, ni dos, ni tres, ni veinticinco ni cien: hay infinitos estados posibles de la moneda.

De hecho, como veremos en los próximos artículos, salvo que haya alguna condición que limite las cosas, cualquier sistema físico, en cuántica, puede tener infinitos estados: el caso de la moneda es extremo por lo simple (sólo hay dos posibilidades al observarla), de modo que imagina en los que no lo sean tanto. Desde luego, una vez que observamos el sistema, la cosa cambia, y esto –si has entendido el concepto de estado– es lógico: si el estado es el conjunto de la información que tenemos sobre el sistema, y observamos el sistema, nuestra información sobre él cambia y, por tanto, su estado también lo hace.

Ya sé que el primer impulso es pensar que esa disociación entre el sistema “real” y su estado es extraña, pero recuerda: en los sistemas en los que realmente se notan los efectos cuánticos, a diferencia de nuestra moneda, no tenemos forma de saber qué es “realmente” lo que pasa en el sistema independientemente de su estado. El estado es lo único que tenemos, de modo que hablar de lo que “pasa realmente” puede ser interesante, pero completamente ajeno al dominio de la cuántica. Esto no quiere decir que no hablemos de ello (lo haremos) pero, salvo que tenga una consecuencia mensurable en las observaciones que realicemos, no es ciencia. A todos los efectos prácticos, el estado es el sistema.

Digo esto porque debes recordar que nuestro ejemplo de la moneda es un ejemplo macroscópico, en el que no se notan los efectos cuánticos: los simulamos metiendo la moneda en la caja. Dicho con otras palabras, en el caso de la moneda el carácter impredecible y “borroso” del sistema lo hemos forzado utilizando la caja, pero en los sistemas reales –como un fotón, un electrón o tu propio cuerpo– la “borrosidad” es inherente a la naturaleza de la materia. El ejemplo de la moneda es útil, pero tal vez te haga pensar que los sistemas están bien definidos intrínsecamente y que es nuestra información incompleta la que los hace “borrosos”; recuerda el principio de incertidumbre, y no dejes que un ejemplo borre de tu memoria todo el resto de la serie, o no sería útil en absoluto.

“Sí, vale”, puedes estar pensando también. “Hay infinitos estados de la moneda, ¡pero no todos son iguales! Hay dos (∣∣cara⟩|cara⟩ y ∣∣cruz⟩|cruz⟩) que son especiales de algún modo, porque la moneda sólo puede mostrar cara o cruz…”

Efectivamente, no todos los estados son iguales: algunos, como esos dos, son especiales, y de ellos hablaremos en la siguiente entrada de la serie dentro de unos días. No guardes las aspirinas.

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Tomado de: Pedro Gómez-Esteban González. (2009). El Tamiz. Recuperado de: https://eltamiz.com/el-sistema-solar/