¿Deducir la masa de la Tierra sólo con mi propio peso?

¿Deducir la masa de la Tierra sólo con mi propio peso?

¿Es posible calcular la masa de la Tierra conociendo sólo la ley de gravitación universal y mi propia masa?

¡Por supuesto!

Recordemos que la fuerza de gravedad que ejerce la tierra sobre mi es justamente peso en Newtons.

F= Mi peso
m= Mi masa
R= Radio de la Tierra

G=6.67 * 10^{-11}Nm^{2}/kg^{2}

F=\frac{GMm}{R^{2}}

Veamos:

La Tierra ejerce una fuerza proporcional al producto de mi masa por la aceleración, que es la gravedad terrestre .

F=ma  pero cuando a=g, esta fuerza se transforma en nuestro peso:

F=P=mg

Siendo “m” la masa de un objeto cualquiera que experimenta una fuerza de atracción debida a la gravedad de un cuerpo mayor “M”, la Tierra en este caso.

¿Cuál es mi peso “P” en la superficie de la tierra si mi masa “m” es de 72 kg?

P=mg \rightarrow P=72kg*9.8m/s^2

P=705.6 [kg*m/s^2]=705.6 N

Ahora, si 705.6 Newtons es la fuerza con que me atrae el planeta en su superficie, sustituyendo esa fuerza en la segunda ley de Newton debería demostrarse cuál es la masa del objeto que me atrae.

F=P=\frac{GMm}{R^{2}}\rightarrow M=\frac{PR^2}{Gm}

M_{tierra}=\frac{705.6N * (6371000m)^{2}}{6.673*10^{-11}Nm^2/kg^2*72kg}=5.961*10^{24}kg

De esta manera hemos deducido la masa de la tierra a partir de nuestro peso, el radio del planeta y las leyes de Newton.

Bien, ¿Puedo con la masa del planeta tierra deducir la masa del sol?

Pues bastaría diseñar una ecuación que relacione dos fuerzas iguales opuestas: Una fuerza atractiva y otra repulsiva: La fuerza centrífuga en torno al sol debe ser compensada exactamente por la fuerza gravitatoria tierra-sol.

Fuerza_{centrifuga}=Fuerza_{gravitacional}

\frac{M_{T}V^2}{r}=\frac{GM_{T}M_{S}}{r^2}\rightarrow \frac{V^2}{r}=\frac{GM_{S}}{r^2}

Despejando la Masa del sol,

M_{S}=\frac{V^2r}{G}

Como puede verse basta conocer la velocidad a la que órbita la tierra en torno al sol, su distancia y la constante gravitacional para hallar la masa del sol.

Podemos consultar la velocidad orbital de la tierra o, mucho mejor, deducirla:

Esta deducción es posible bajo el supuesto de que la tierra gira en torno al sol en una órbita circular por lo que la distancia que recorre en una vuelta completa al sol, es decir en un año, es igual al perímetro de de una circunferencia (2 por Pi por el radio).

Reemplazando el valor encontrado de la velocidad en la ecuación anterior, tenemos:

M_{S}=\frac{(29881m/s)^{2}\150\cdot 10^9m}{6.67\cdot 10_{-11}Nm^2/kg^2}= 2.007\cdot 10^{30}kg

Lo cual es una aproximación bastante buena a la masa encontrada en Wikipedia teniendo en cuenta una deducción partiendo de mi propia masa y la aplicación de las leyes de Newton. ¡Genial!

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