La caja de Bertrand

Hace varios meses que tenemos abandonados a los malvados alienígenas matemáticos y sus paradojas relacionadas con el infinito, las probabilidades y demás zarandajas, de modo que ya es hora de dedicarles un artículo. Espero que algún día esto se convierta en una serie propiamente dicha, y tal vez –como alguien sugirió en algún artículo anterior– en un libro de historietas de ciencia-ficción mezcladas con humor negro y que hagan pensar.

Por si has llegado recientemente a El Tamiz, en estos artículos atacamos algún asunto matemático interesante pero de un modo algo peculiar: a través de una raza de alienígenas malvados y horribles, dotados de una inteligencia sobrehumana y capaces de realizar cálculos a una velocidad infinita. En algunos artículos, como en Cuántos corredores hay en la carrera, La paradoja de Monty Hall o La lámpara de Thomson, los alienígenas te han capturado y te someten a algún experimento probabilístico; en el último, La paradoja de Benardete, relatamos una de las historias tradicionales que los alienígenas cuentan a sus babosos hijos cuando se van a dormir. Se trata de artículos para hacer pensar, pero no son del gusto de todos los lectores – muchos no llegan a conclusiones claras, están teñidos de humor negro y son de un estilo algo diferente a la mayoría de las otras entradas. De modo que estás avisado.

Puesto que hace bastante del último artículo, antes de publicar uno realmente denso vamos a desengrasar las neuronas con un par de ellos relativamente sencillos. El de hoy está relacionado con el de Monty Hall: si leíste aquél, éste no debería ser muy complicado de resolver correctamente.

Dicho esto, hoy hablaremos acerca de una de las paradojas clásicas de probabilidad, propuesta por primera vez por el matemático francés Joseph Louis François Bertrand en 1889, y que por lo tanto se suele denominar Paradoja de la caja de Bertrand. Naturalmente, la describiré en términos de alienígenas antropófagos, pues ¿qué mejor motivación para resolver un enigma matemático que la posibilidad de acabar en uno de los estómagos de un alienígena monstruoso y ser digerido durante varios días? Vamos con ello.

Una raza de alienígenas tecnológica e intelectualmente avanzados ha conquistado la Tierra. Su obsesivo interés por las matemáticas (y especialmente la probabilidad) sólo es superada por su avidez por la carne humana. Sin embargo, una vez conquistado el planeta no matan humanos sin ton ni son: con una crueldad infinita, los someten antes a retorcidos experimentos matemáticos, de modo que algunos humanos avispados y afortunados sobreviven, mientras que la mayor parte son engullidos con fruición.

Tú, querido y jugoso lector de El Tamiz, has sido capturado por los alienígenas, y despiertas en una pequeña celda en la que hay una mesa con tres cajas de acero, cada una con un pequeño agujero en el costado. Uno de los malvados alienígenas se encuentra al lado de la mesa y cuando te ve despertar sonríe maliciosamente, mostrando sus ocho hileras de afiladísimos dientes y babeando con profusión.

“Hola, humano”, te dice el monstruo con voz gorgoteante y rasposa –realmente el término “humano” no existe en alienígena; la palabra más similar es “xuglurz”, una onomatopeya que significa “el ruido que hace el tercer estómago al digerir carne tierna”, pero este alienígena está empleando el lenguaje humano–. “Esto es un experimento para determinar tu capacidad matemática… puedes considerarlo un juego”.

Mientras sus ojos lacrimosos te observan con apetencia, el alienígena sigue hablando: “Si ganas, podrás seguir con vida y serás libre. Si pierdes, te convertirás en humano”. Tras parpadear un par de veces, la criatura añade, “Quiero decir, habrá terribles consecuencias para ti”. Al decir esas palabras, el ser se pone a salivar profusamente de nuevo y se relame.

“En una de estas tres cajas hay una bola blanca y una negra. En otra de las cajas hay dos bolas blancas, y en otra hay dos bolas negras. Mete la mano en una y saca una bola”, ordena el monstruo. Al notar que titubeas, añade, “No te preocupes, no va a pasarte nada… todavía”.

Cuando metes la mano en una de las cajas al azar y sacas una bola, ves que es una bola negra. El alienígena suelta una leve risa burbujeante mientras sus tentáculos se agitan. “Ahora es cuando comienza el juego”, anuncia con su horrible voz. “¿De qué color es la otra bola que hay en la caja, blanca o negra? Si aciertas podrás vivir. Si no…”. El monstruo no acaba la frase, pero varios detalles te hacen comprender lo que insinúa: la intensidad de su vidriosa mirada, el relamir de su lengua babeante, la botella de salsa de Worcestershire que sostiene en un tentáculo…

“¡Elige!”, repite la criatura. “¿Es la otra bola blanca o negra?” Cuando le suplicas que no te haga pasar por esto, que te dé alguna pista o te ayude de algún modo para poder elegir, el alienígena se carcajea, duchándote con su corrosiva y espumosa saliva.

“Ayudarte iría contra todos nuestros principios”, responde. “Como dijo nuestro ínclito filósofo Retraptcht Yrtre – Dale fuego a un hombre y tendrá calor un día. Prende fuego a un hombre y tendrá calor el resto de su vida1. Debes elegir tú solo, bípedo implume”.

De modo que, estimado lector, ¿qué color elegirías, blanco o negro? ¿qué opción te da la máxima probabilidad de escapar al baño de salsa de Worcestershire? ¿o da igual lo que elijas? Piénsalo un rato antes de bajar hasta la solución, y luego sigue leyendo.

Si has elegido una bola blanca, probablemente acabarías engullido por los alienígenas. Si has contestado que da lo mismo una cosa que la otra y eliges una bola al azar, hay un 50% de probabilidades de que sobrevivas. La estrategia más inteligente, la que hace máxima la probabilidad de supervivencia, es elegir la bola negra. De ese modo tienes un 66,7% de probabilidades de sobrevivir.

La mayor parte de la gente suele responder que da igual elegir una bola o la otra, porque razonan de la siguiente manera: si he sacado una bola negra al principio, eso quiere decir que la caja de la que la he obtenido no puede ser la que tiene las dos bolas blancas. O bien tiene dos bolas negras (en cuyo caso la próxima bola que saque será negra), o bien tiene una bola blanca y otra negra (en cuyo caso la próxima bola que saque será blanca). Hay dos posibilidades (las dos cajas posibles), de modo que la probabilidad es de un 50% para bola blanca y un 50% para bola negra – la conclusión es que da lo mismo lo que elija.

Este razonamiento es incorrecto, pero es el que la mayor parte de la gente utiliza: es indudablemente intuitivo. Sin embargo, la intuición a veces nos juega malas pasadas, como en este caso.

Para tratar de explicar con claridad cómo es el razonamiento correcto, voy a emplear la siguiente notación: B es una bola blanca y N es una negra. De modo que las tres cajas eran [BN], [BB] y [NN]. Es evidente que, tras ver que la bola que has extraído es N, la caja en cuestión no puede ser la caja [BB], tiene que ser una de las otras dos.

El problema del razonamiento anterior es que establece dos posibilidades equiprobables: [NN] y [BN], de modo que asigna a cada una un 50% de probabilidad. Sin embargo, la información de que dispones es que has sacado una bola negra. Pero no hay dos bolas negras, hay tres.

Nombremos a las bolas negras para distinguirlas, aunque cuando yo la mire no pueda saber cuál de ellas es: las cajas son ahora [N1N2] y [BN3]. Como puedes ver, si he sacado una bola negra puede haber sido de tres maneras, y lo que queda en la caja en cada una de ellas es:

• Si he sacado N1, en la caja queda N2. Gano si elijo la bola negra, pierdo si elijo blanca.
• Si he sacado N2, en la caja queda N1. Gano si elijo la bola negra, pierdo si elijo blanca.
• Si he sacado N3, en la caja queda B . Gano si elijo la bola blanca, pierdo si elijo negra.

Como puedes ver, la probabilidad de ganar si elijo la bola negra es de 2/3 (un 66,7%), mientras que la probabilidad de ganar si elijo la blanca es de tan sólo 1/3 (el 33,3%). La clave es, aunque me repita, que el hecho de sacar una bola negra hace más probable que la caja en cuestión tenga dos bolas negras.

Es sencillo probarlo, o bien con un pequeño programita de ordenador, o bien simplemente con la ayuda de un amigo, y ver que las probabilidades no fallan. Naturalmente, elegir la bola negra no garantiza que no acabes en el gaznate del alienígena, pero la mayor parte de los humanos que eligieron esa opción sobrevivieron y fueron liberados, mientras que sólo uno de cada dos que eligieron al azar evitaron ser bañados en salsa y engullidos. ¿A qué grupo perteneces tú?

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Créditos: Pedro Gómez-Esteban González. (2009). El Tamiz. Recuperado de: https://eltamiz.com/