La paradoja de los cthulhucitos

Sé que la mayor parte de vosotros, como yo, les tenéis un cariño especial a los malévolos, retorcidos, inmisericordes, voraces, en definitiva, entrañables alienígenas matemáticos. Hace ya algún tiempo que no les dedicamos una entrada (la última fue sobre la paradoja del Gran Hotel de Hilbert), de modo que volvamos a explorar paradojas matemáticas con ellos.

En la entrada de hoy hablaremos acerca de una paradoja geométrica. Aunque nunca la he leído en ningún sitio, es tan simple que estoy seguro de que está por ahí y tiene nombre – si alguno de los matemáticos que leéis El Tamiz la conocéis con un nombre específico, decídmelo y le doy el crédito a su autor original. Hasta entonces, y sin el menor rubor, le asigno el nombre provisional de paradoja de los cthulhucitos. De hecho creo que, aunque me informéis de su nombre oficial, aquí seguirá siendo siempre la paradoja de los cthulhucitos… ¡son tan monos!

Como digo, se trata de algo sencillo y nada espectacular, de modo que espero que no os decepcione comparada con otras entradas de la serie. Se trata sin embargo, o al menos eso creo, de una introducción bastante asequible a un asunto que atacaremos más a fondo en esta misma serie – los fractales. En cualquier caso, hoy conoceremos las andanzas de otro de los héroes alienígenas, además de los que ya hemos mencionado en la serie: el ingeniero Terdlanbomitnbeo y sus inimitables cthulhucitos.

Por cierto, sé que las ilustraciones son más bien ramplonas, pero Geli no ha tenido tiempo de ayudarme con esta entrada y he tenido que hacerlas yo; como no tengo el talento ni la paciencia de ella, hay lo que hay. Si sirven para ayudar a comprender la entrada, con eso me conformo.

Terdlanbomitnbeo era un héroe de guerra alienígena, y leyendas y anécdotas sobre sus hazañas eran a menudo recitadas a los pequeños alienígenas matemáticos cada noche antes de dormir (algunos de ellos, para siempre). Las virtudes de Terdlanbomitnbeo eran múltiples: su inteligencia era aceradísima, su eficiencia sin parangón, su crueldad infinita. Pero, por encima de todo, se trataba de un verdadero ejemplo para los jóvenes alienígenas por su codicia legendaria – Terdlanbomitnbeo tenía riquezas inmensas, un número infinito e incontable de esclavos de diversos sistemas planetarios y propiedades de dimensión espacial mayor que tres, pero siempre quería más y más.

Sin embargo, tras unas cuantas campañas de conquista espacial, Terdlanbomitnbeo se había retirado como Contraalmirante y había iniciado un negocio de construcción, ya que algunas de sus aptitudes eran perfectas para ese campo. Combinando sus conocimientos técnicos, su extrema inteligencia (elevada incluso para los estándares de los alienígenas matemáticos, que expresan la de los humanos utilizando notación científica y exponentes negativos) y su avaricia sin igual le daban una ventaja enorme sobre los miembros de otras razas que competían con él. Además, Terdlanbomitnbeo disponía de algo de lo que los demás carecían: los cthulhucitos.

Naturalmente, ése no era el nombre que las criaturas se daban a sí mismas. Se trataba de una raza conquistada por Terdlanbomitnbeo en sus días como Capitán, y justo antes desintegrar su planeta, el horrendo cefalópodo les había dado dos opciones: o convertirse en sus esclavos o ser destruidos junto con su hogar. Los gentiles y pacíficos seres habían accedido a convertirse en los esclavos de Terdlanbomitnbeo, que así había aumentado sus propiedades y dominios con una nueva raza de cualidades extraordinarias.

Y es que las criaturas eran muy curiosas: en primer lugar, se trataba de seres tentaculados como él mismo, pero de un tamaño muy pequeño y un temperamento amable y cordial. Terdlanbomitnbeo, estudioso de la literatura de numerosos pueblos conquistados, les dio inmediatamente el nombre de cthulhucitos por su parecido con cierta figura literaria de la Tierra que le recordaba mucho a su tía abuela (también de amable temperamento, algo inusual entre los alienígenas, y suculento sabor). Pero, además de ser tan monos, los cthulhucitos tenían una capacidad muy extraña: eran capaces de reducir su tamaño a la mitad y de volver a su estado normal a voluntad.

Puede que esto no te resulte demasiado impresionante, pero no sólo eran capaces de hacerlo una vez: cualquiera que fuera su tamaño en un momento determinado, podían reducir su tamaño a la mitad del actual. También podían volver a su tamaño normal cuando la reducción hubiera dejado de ser útil. De hecho, los cthulhucitos habían tratado de escapar de la flota de Terdlanbomitnbeo reduciéndose hasta escalas subatómicas, pero éste había alterado la curvatura espacio-temporal del sistema y… pero eso es otra historia, y la dejaremos para otro momento.

El caso es que esta capacidad de los monísimos cthulhucitos de reducir su tamaño le era utilísima a Terdlanbomitnbeo como ingeniero: donde otros requerían herramientas de precisión, el empleaba a las minúsculas, mutables y adorables criaturas. Donde la nanotecnología era un coste demasiado grande, una voz de Terdlanbomitnbeo y sus pequeños cthulhucitos, ¡PLOP, PLOp, PLop, Plop, plop…!disminuían su tamaño geométricamente hasta alcanzar el necesario para realizar el trabajo. Pero uno de los casos más famosos en los que intervinieron los cthulhucitos de Terdlanbomitnbeo fue en la construcción del cable de Ordos-II.

Las autoridades de ese planeta necesitaban construir un cable colgante de una resistencia gigantesca para llevar mercancías entre dos ciudades, Yzilgxurz y Grizzulxy, que estaban separadas 1 000 km. Pocos ingenieros eran capaces de una obra así, y todos sabían que Terdlanbomitnbeo era el mejor de ellos, de modo que el Consejo de Ordos-II se puso en contacto con él para hacerle una oferta: le pagarían 500Ŧ (una cantidad enorme de la moneda local) por cada metro de cable construido, ¡un total de 500 000 000 de Ŧ! Tal era la cuantía de la suma que el codicioso Terdlanbomitnbeo aceptó. Los consejeros de Ordos-II le mostraron el mapa en el que aparecían las dos ciudades separadas 1 000 km:

cthulhucitos

Inmediatamente, Terdlanbomitnbeo dio un par de instrucciones a sus diminutos, obedientes y, sobre todo, monísimos cthulhucitos, que se distribuyeron por el terreno llevando átomos de diversos metales en las manos. En unas horas, las eficacísimas criaturas habían construido el cable. Terdlanbomitnbeo informó de ello a los Ordosianos, que sonrieron satisfechos.

“Bien, aquí está la suma acordada, 500Ŧ por cada metro de cable”, dijeron, a lo que Terdlanbomitnbeo asintió mientras sonreía. La inexperiencia de los Ordosianos con los alienígenas matemáticos (que aún no se habían dignado conquistar su planeta) hizo que no se dieran cuenta de varios detalles: el primero, la sonrisa que revelaba varias hileras de dientes casi tan afilados como la mente de su dueño; el segundo, el color de la piel de Terdlanbomitnbeo, que tenía el tono anaranjado de la avaricia; finalmente, el levísimo sonido de varios de sus estómagos al ronronear de gusto ante la maniobra que tenía preparada.

Pero, como digo, todo esto se escapó a los consejeros de Ordos-II, que continuaron diciendo con tranquilidad, “Puesto que éste tiene una longitud de 1 000 km, es un total de quinientos millones de Ŧ, que transferiremos a su cuenta hoy mismo. Ha sido un placer trabajar con usted, Terdlanbomitnbeo. ¡Y mira que nos dijeron que era endiabladamente codicioso!”

“Muy amable por el cumplido”, respondió con voz resbalosa y gorgoteante Terdlanbomitnbeo, mientras duchaba a su contertulio con su ácida baba. “Sin embargo, hay un detalle que no encaja. El cable no tiene 1000 km de longitud, sino 1 414 km. No me deben ustedes quinientos millones de Ŧ, sino setecientos siete millones.” Los Ordosianos se miraron unos a otros con confusión mientras Terdlanbomitnbeo continuaba. “De hecho, el cable tiene algo más de largo, pero no he querido complicar las cosas y he redondeado hacia abajo. Tómense algo a mi salud.”

Fue entonces y no antes –algo que revela una vez más la inexperiencia de los Ordosianos– que éstos miraron sus imágenes vía satélite del terreno entre las dos ciudades y, para su sorpresa, se encontraron con esto:

cthulhucitos

Los ingenuos consejeros Ordosianos se rieron con buen humor: “¡No, no!”, le dijeron a Terdlanbomitnbeo, sonriendo. “Ha habido un error: en vez de construir el cable en línea recta entre las dos ciudades como acordamos, ha construido usted un cable que va primero de Oeste a Este y luego, tras girar 90º, va de Sur a Norte hasta llegar a Yzilgxurz. ¡Claro que mide más! Puesto que entre las ciudades hay 1 000 km, al ir de una ciudad a la otra de ese modo se recorre esa distancia por la raíz de dos, es decir, unos 1 414 km. Pero ¿cómo ha podido usted cometer semejante error? ¡Si es un ingeniero de renombre! Le mostraremos en verde, superpuesto con el paisaje, el diseño correcto, el más corto entre las dos ciudades:”

cthulhucitos

“Ah, no saben cuánto lo lamento… un error lo tiene cualquiera”, respondió el malévolo Terdlanbomitnbeo mientras sonreía burlonamente; pero sus ojos, vidriosos y supurantes, no sonreían. “No se preocupen”, continuó con su rasposa voz. “Me pondré en contacto con mis _cthulhucitos_ y resolverán el problema inmediatamente.”

Dicho y hecho: Terdlanbomitnbeo ladró una orden a sus menguantes y adorables criaturas y éstas se pusieron a trabajar para modificar el cable. Los Ordosianos no entendían el lenguaje que utilizaba el alienígena matemático ni la orden que había dado, pero tras el primer malentendido decidieron observar el resultado a través del satélite antes de hablar de nuevo con Terdlanbomitnbeo. Esta vez no se rieron: no podía tratarse de una confusión. La sepia espacial estaba haciendo una estúpida broma a su costa, y una broma de una enorme torpeza. ¿Pero es que creía que eran tontos? La imagen del satélite mostraba un panorama decepcionante:

cthulhucitos

Inmediatamente se dirigieron al ingeniero, que los esperaba sonriendo, un pequeño charco de babas a sus pies. “¿Es esto una broma?”, le preguntaron. “¡El cable sigue estando mal! ¡Sigue midiendo lo mismo que antes! ¿Nos está tomando el pelo? ¡Tiene que ir en diagonal!”

“Bueno, tal vez no sea perfecto”, gorgoteó Terdlanbomitnbeo, “pero no me negarán que se parece más que el anterior al recorrido en diagonal que ustedes sugieren. De hecho, la distancia máxima entre su diseño y mi cable se ha reducido a la mitad.”.

“Pues claro”, respondieron los consejeros, que empezaban a enfadarse. ¡Pero esa patética “mejora” no es suficiente! Debemos recordarle, ingeniero, que el contrato que ambos hemos firmado y que consta ante las autoridades galácticas del sector indica muy claramente que “El cable constuido no debe desviarse en ningún punto más de un metro del plano sugerido por Ordos II”. ¿Ha olvidado usted esto?”

El brillo maléfico en los ojos de Terdlanbomitnbeo hizo ya darse cuenta a varios de los consejeros de que las cosas iban realmente mal, aunque todavía no supieran por qué. “Yo no olvido. Jamás.”, respondió el horrible ser con voz acariciadora y venenosa. “Aunque la distancia máxima entre su diseño diagonal y mi cable ha disminuido respecto al intento anterior, no les negaré que todavía es mucho mayor que un metro. Sin embargo, ¡observen!”, exclamó el alienígena, y dio una nueva orden a sus cthulhucitos, que se apresuraron a obedecer, reorganizando los átomos metálicos del cable en una nueva forma geométrica.

Terdlanbomitnbeo señaló a la pantalla del satélite y los consejeros vieron, horrorizados, el nuevo cable entre las dos ciudades. Los más inteligentes entre ellos se habían dado ya cuenta de su error al contratar al monstruo espacial, aunque los menos espabilados todavía miraban sin comprender:

cthulhucitos

“Como pueden observar, criaturas infragalácticas”, les espetó Terdlanbomitnbeo, “el cable todavía no se ajusta a sus expectativas, pero la distancia de desviación máxima entre su diseño y mi cable ha disminuido de nuevo. De hecho, es ahora la mitad que era en el paso anterior, y en aquél la mitad que en el primero.

“Pero… pero…“, interpuso uno de los consejeros más atrevidos. “Al tener tantas esquinas, ¡su cable sigue midiendo exactamente lo mismo que el primero que construyó!”

“En efecto”, respondió Terdlanbomitnbeo mientras su sonrisa se abría tanto que los extremos casi se tocaban por detrás de su cara (o lo que podría considerarse la cara de un ser tan repugnante). “La longitud de mi cable es la misma que al principio, pero la desviación máxima entre su diagonal y mi cable se ha reducido varias veces. Ah, pero lo mejor de todo es que no tengo por qué parar aquí, ¿verdad?, preguntó con sorna, sus tentáculos agitándose de placer ante las expresiones de consternación de los Ordosianos.

“No, no tengo por qué terminar aquí. Basta un cálculo tan simple que me parecería humillante mencionarlo para saber cuántas veces más tengo que ordenar a mis cthulhucitos que repitan lo que han hecho ahora hasta que la distancia de mi cable al diseño diagonal sea menor que un metro”, continuó el monstruo. “Pero no voy a parar ahí, ya que tengo una reputación que mantener. ¡Hagamos las cosas bien!”

Dicho esto, Terdlanbomitnbeo ordenó a sus cthulhucitos que volvieran a duplicar el número de giros del cable mil veces. Las criaturas tuvieron que disminuir su tamaño a proporciones inimaginables, pero obededieron sin rechistar, ya que –además de monísimas y adorables– eran muy serviciales con su terrible amo.

“La distancia entre nuestros dos cables es ahora muchísimo más pequeña que la longitud de Planck”, anunció Terdlanbomitnbeo. “De hecho, mis cthulhucitos han tenido que violar algunas leyes físicas para doblar tanto el cable, pero no voy a aburrirles con los detalles. Su cable, señores, es absolutamente indistinguible del diseño que me propusieron en todos los aspectos. ¡Ah, no! Hay una cosa que los diferencia, un pequeño detalle que no se mencionaba en el contrato: la longitud de mi cable sigue siendo exactamente la misma que al principio. Me deben ustedes setecientos siete millones de Ŧ. Los espero en mi cuenta mañana.”

Y con esto y una orden seca de Terdlanbomitnbeo, ¡plop, ploP, plOP, pLOP, PLOP! los cthulhucitosvolvieron a su tamaño normal y ambos –señor tentaculoso y esclavos diminutos– se dirigieron a su nave para abandonar el planeta. Una vez más, la indescriptible avaricia y malévola inteligencia del monstruso espacial habían triunfado, y sus arcas acumularían todavía más riquezas que antes.


Terminada la historia, un par de comentarios sobre los aspectos geométricos. En primer lugar, para ayudarte a comprender los fractales de los que hablaremos en el futuro, imagina que el cable de Terdlanbomitnbeo siguiera aproximándose más y más hacia la diagonal. Como puedes ver, con mil simples iteraciones la distancia entre ellos es mucho más pequeña que cualquier cosa medible en el Universo, pero la longitud total sigue siendo la del principio.

Imagina ahora una línea como esa pero con infinitas iteraciones: la distancia entre cualquiera de sus puntos y la diagonal sería cero, pero no se trata de la misma línea, porque ambas no tienen la misma longitud. Lo que ves es una línea quebrada infinitas veces, una línea que no se ajusta a la geometría euclidiana. Si entiendes esto y la paradoja deja de serlo para ti, creo que los fractales no tendrán secretos para ti.

Por cierto, aunque la “línea de los cthulhucitos” es una línea realmente extraña, no se trata de un fractal, aunque comparte algunas de sus características. La definición formal de fractal de Benoît Mandelbrot (que es bastante abstracta) requiere que su dimensión de Hausdorff-Besicovitch sea mayor que su dimensión topológica, algo que no sucede en este caso. Pero hablaremos de esto y otras cosas en entradas posteriores: por ahora pretendo que la idea de una curva infinitamente “quebrada” y autosimilar que no se ajusta a la geometría euclidiana sea aceptada, en lo posible, por tu intuición, y no se me ocurre un mejor ejemplo que éste.

Un par de pequeños retos:

  1. ¿Eres capaz de calcular cuántas veces haría falta repetir la iteración de Terdlanbomitnbeo para que su cable cumpliera estrictamente el requisito del contrato, es decir, que la distancia máxima entre los dos cables –teórico y real– fuera de un metro? Se acepta un valor aproximado. Y no, no es muy difícil ni tiene truco.
  2. ¿Eres capaz de hacer un programita que acepte como argumento un número y dibuje la “línea de los cthulhucitos” con ese número de iteraciones? Javier, un “habitual” de El Tamiz, ya ha hecho uno sencillo y muy chulo. Para jugar con él puedes ir a https://eltamiz.com/files/cthulhucitos-javier.html.

Sin más, como dije al principio, espero que esto no os haya resultado demasiado simple y que hayáis disfrutado elucubrando sobre geometría cthulhoide. Yo, como siempre con esta serie, he disfrutado escribiéndolo como un auténtico enano. El siguiente artículo de la serie estará dedicado a la paradoja de Newcomb.

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Créditos: Pedro Gómez-Esteban González. (2009). El Tamiz. Recuperado de: https://eltamiz.com/

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