La paradoja de Monty Hall

Había empezado a planear cómo atacar una serie sobre las “cuatro fuerzas”, las interacciones fundamentales del Universo, una petición de curzki en este comentario; pensar en eso me llevó a darme cuenta de que debería empezar una serie básica sobre la cuántica antes, para poder hablar con algo de base sobre las partículas virtuales. He empezado a escribir el primer artículo de la serie, pero al hacerlo (junto con el preparar la introducción al libro de Relatividad Especial) me ha llevado a pensar en nuestra intuición y cómo el fiarse de ella es peligroso… y el resultado de tanto rumiar ha sido esta entrada que estás leyendo.

La paradoja de Monty Hall
La paradoja de Monty Hall

Algo que repito unas cuantas veces al hablar de relatividad, y que tendré que repetir unas cuantas más cuando hablemos de física cuántica, es que hay que saber cuándo no fiarse de la intuición (y tanto la cuántica como la relatividad son dos ejemplos de cuándo no hay que fiarse de ella). Sin embargo, es muy difícil no fiarse de ella: hay cosas que nos parecen “de sentido común”, “evidentes” y “obvias” cuando no lo son, pero contradecir esos mensajes de nuestro propio cerebro es complicado. De hecho, requiere una cierta disciplina y práctica.

De manera que hoy vamos a dedicarnos a practicar la anti-intuición… pero no con la física, sino con las matemáticas. Hay bastantes problemas y paradojas matemáticos que son ejemplos excelentes de lo que quiero decir: algo que es real, y perfectamente lógico, nos parece imposible. Sin embargo, cuando pensamos sobre el asunto sin escuchar la vocecilla de la intuición, nos damos cuenta de que estábamos equivocados.

De estos problemas, uno de los más conocidos (y es posible que ya lo conozcas, en cuyo caso no tiene sentido que sigas leyendo) es el de los “tres prisioneros”, propuesto por el genial Martin Gardner en 1959 en su columna de Juegos Matemáticos del Scientific American (publicada en español como Investigación y Ciencia). Se han formulado versiones posteriores (como la de Monty Hall, de puertas con cabras y un coche), y la versión que voy a proponer aquí es una modificación de la segunda (que por cierto apareció el año pasado en la serie Numb3rs). La razón de que escriba esta versión ligeramente modificada es simplemente que me encantan los juegos de probabilidad en los que aparecen alienígenas malvados.

De modo que te pido que analicemos la siguiente situación juntos:

_Una raza de alienígenas avanzados y abyectos ha conquistado la Tierra para realizar horribles experimentos matemáticos con los humanos. Te capturan tras dejarte inconsciente y, cuando te despiertas, te encuentras en una celda. Junto a ti hay un alienígena de aspecto lovecraftiano que te mira con diversión, y enfrente de ti hay tres botones.

El alienígena te informa de que, de los tres botones, uno abre una puerta al exterior, y si lo pulsas te dejarán ir en libertad. Si presionas cualquiera de los otros dos botones, un rayo desintegrador acabará con tu miserable vida (al decir esto último, el alienígena lanza una risa gorgoteante y se estremece de placer). Naturalmente, no sabes cuál de los tres botones conduce a la libertad._

¿Cuál presionarías? La respuesta que te da la intuición, supongo, es que da lo mismo: todos los botones son equivalentes. En este caso, la intuición acierta: ésa es la respuesta correcta. Sigamos con la historia:

_Cuando te dispones a presionar uno de los botones elegido al azar, el alienígena te detiene.

“¿Estás seguro de que quieres presionar ese botón, humano?”, te dice con su voz rasposa. A continuación, la criatura elige uno de los otros dos botones que no has elegido y lo presiona con un tentáculo. Inmediatamente, un rayo desintegrador golpea el suelo donde habrías estado tú si lo hubieras tocado. El alienígena lanza una estentórea y babeante carcajada, y te pregunta: “¿Estás seguro de que no quieres cambiar de botón?”_

Y aquí, querido lector, es cuando llegamos al punto clave de la historia. ¿Deberías mantener tu elección inicial, o cambiar de botón? Piénsalo un momento antes de continuar leyendo.

La intuición de la mayor parte de la gente (y la mía también) indica que da lo mismo cambiar de opción que mantener la elección inicial. ¿Qué más da lo que haya hecho el alienígena? Sin embargo, esa intuición es absolutamente errónea:** la elección inteligente es cambiar de botón ipso facto**, puesto que eso hace el doble de probable que sobrevivas. Ahora, por supuesto, mi tarea es tratar de convencerte de que es así.

El problema es que nuestra intuición, al ver el problema, piensa que hay dos posibilidades una vez que el alienígena te muestra un botón “desintegrador”: que el tuyo sea el bueno (en cuyo caso es mejor no cambiar de elección), o que lo sea el botón restante (en cuyo caso es mejor cambiar), de modo que la intuición cree que da igual una cosa que la otra.

Pero no hay dos posibilidades: hay tres. ¡La razón es que no es igual de probable que hayas elegido inicialmente el botón “salvador” que un botón “desintegrador”!

Es algo parecido a lo siguiente: supón que alguien te dice que, en tu elección inicial, la probabilidad de haber elegido el botón bueno es del 50% porque hay dos posibilidades: que hayas elegido el botón bueno, o que hayas elegido uno malo. Supongo que le explicarías que no hay dos posibilidades, hay tres: que hayas elegido el bueno, que hayas elegido el primer botón malo, o que hayas elegido el segundo botón malo.

Cuando el alienígena te indica uno de los botones “desintegradores” y te pregunta si quieres cambiar de opción, las tres posibles situaciones (sí, sí – tres, no dos) son las siguientes:

  1. Habías elegido el botón correcto. Los otros dos botones son “desintegradores”.
  2. Habías elegido uno de los botones “desintegradores”, y el alienígena te muestra el otro.
  3. Habías elegido el segundo de los botones “desintegradores”, y el alienígena te muestra el primero.

Fíjate que, en el primer caso, es seguro que el botón que aún no ha sido revelado es un botón “desintegrador”. En esa situación es mejor no cambiar. Esto sucede un 33% de las veces.

En el segundo caso, es seguro que el botón que aún no ha sido revelado es el botón salvador (porque tú tienes uno “desintegrador”, y el alienígena ha revelado el otro “desintegrador”). En este caso, es mejor cambiar, y esto ocurre un 33% de las veces.

En el tercer caso, una vez más, es seguro que el botón que no ha sido revelado es el “bueno”, y en este caso es mejor cambiar. Esto ocurre un 33% de las veces.

De modo que, como puedes ver, si cambias de opción te salvas un 66% de las veces, mientras que si mantienes tu opción inicial (con lo que no utilizas la información que te da el alienígena cuando pulsa el botón “desintegrador”) mantienes tu probabilidad inicial del 33%. Conclusión: ¡cambia de botón!

Puedes mirarlo de otra manera: al cambiar de botón, estás “apostando” que tu elección inicial era un botón “desintegrador”, mientras que al no cambiar estás apostando que tu elección inicial era el botón “salvador”….pero es mucho más probable que la elección inicial fuera un botón desintegrador. Ahí está la clave del problema.

Imagina que no hay dos botones, sino mil. Eliges uno de ellos, y el alienígena se pone a presionar botones uno detrás de otro, de entre los que no has elegido. Caen rayos desintegradores sin parar… hasta que el alienígena deja un botón sin presionar de los 999 que no has pulsado. ¿Deberías mantener tu elección original, o elegir ese botón que el alienígena ha dejado sin presionar?

¿Te parece más lógica la solución correcta ahora? Si habías elegido el botón correcto, entonces el alienígena está dejando libre un botón desintegrador…pero eso es muy improbable, porque elegiste un botón al azar de entre mil. Sin embargo, si habías elegido un botón desintegrador, el alienígena no tiene opción: el botón que ha dejado libre es el botón correcto… ¡y esto ocurre en 999 de 1000 ocasiones, en todas en las que fallaste al principio!

Es posible que aún no estés de acuerdo conmigo (la intuición es testaruda). Por si te consuela, cuando se publicó esta paradoja en Estados Unidos en 1990 en la revista Parade, recibieron miles de cartas de lectores indignados que pensaban que la solución era absurda… entre ellos, muchos matemáticos (los cuales, todo hay que decirlo, posteriormente pidieron disculpas cuando se dieron cuenta de su error). Hay muy poca gente que, en una primera lectura del problema, no se rebele contra la solución correcta, de modo que si te pasa, es totalmente normal.

Eso sí: te aseguro que la opción correcta es cambiar de botón, y es muy fácil de comprobar en la práctica. En primer lugar, puedes hacerlo con un amigo:

Coged tres cartas, una de las cuáles debe ser diferente (la que representa el botón “salvador”): por ejemplo, dos reyes y un as. A continuación tu amigo (que ve las tres cartas) te ofrece que elijas una. Cuando lo hagas, pero aún sin verla, que tu amigo revele un rey de una de las otras dos cartas y te pregunte si mantienes tu elección inicial o cambias. Si lo haces unas cuantas veces, verás que es mucho más probable acertar si cambias de opción.

Pero también hay multitud de simuladores del problema en la red (claro, tienes que fiarte de que no están “amañados”). La mayor parte no usan alienígenas y botones desintegradores (qué aburridos), sino puertas, coches y cabras (el coche es el equivalente del botón “salvador”), porque ésa es la formulación de la Paradoja de Monty Hall original, pero bueno. Puedes probar ambas estrategias (cambiar o no) y ver los resultados de todo el mundo que ha jugado en este enlace.

En cualquier caso, ¿qué tiene que ver esto con la relatividad o la cuántica? Principalmente esto: cuando tu intuición te dice que algo es falso, pero el razonamiento lógico y las pruebas experimentales te dicen que es cierto, fíate de la lógica y los experimentos, no de la intuición. Nuestra intuición es una herramienta útil, pero no tanto como nuestro razonamiento lógico.

Además, si una raza de horribles alienígenas obsesionados con las matemáticas invade la Tierra, estamos preparados.

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Créditos: Pedro Gómez-Esteban González. (2009). El Tamiz. Recuperado de: https://eltamiz.com/

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