La paradoja de Ross-Littlewood

Es la hora: el momento en el que El Tamiz abandona la insulsa geometría riemanniana de nuestro Universo para adentrarse en delirantes experimentos mentales de la mano de los Alienígenas matemáticos. En la última entrada de esta espeluznante serie conocimos la historia del derrocamiento del presidente Lémur, Mirrec Liwennmla, por parte del malévolo Eluyyndu, haciendo uso de la paradoja de Simpson. Hoy ejercitaremos las células grises con otra paradoja matemática, en este caso relacionada con la idea del inifinito y las supertareas –un concepto que ya exploramos al hablar de la lámpara de Thomson–.

Si eres relativamente nuevo por aquí, permite que te dé un aviso: los artículos de esta serie son delirantes, absurdos y a menudo dicen lo contrario de lo que quieren decir. Están repletos de pedantería, sinsentidos, no llegan a conclusiones útiles y el humor negro hace de ellos una experiencia desagradable. Mi recomendación sincera es que no los leas; dicho llanamente, su lectura es ortogonal a cualquier uso práctico del período temporal que requiere.

John Edensor Littlewood
John Edensor Littlewood

Tras el aviso de rigor, hoy hablaremos acerca de una paradoja planteada por primera vez en 1953 por el genial matemático británico John Edensor Littlewood (a la derecha, a quien pido mil disculpas por este artículo, dondequiera que esté), y analizada posteriormente por muchos otros, entre ellos Sheldon Ross en 1988; de ahí que suela conocérsela como paradoja de Ross-Littlewood. Como en el caso de tantas otras paradojas matemáticas, Littlewood planteó la suya utilizando urnas y bolas numeradas, pero ¿qué gracia tiene eso? Aquí plantearemos la paradoja a la manera habitual en esta casa.

De entre las ℵ0 conquistas de los tiránicos Alienígenas matemáticos, una de las más provechosas en todos los sentidos había sido la de los lutrinos arturianos. De hecho, llamarlo “conquista” es una exageración: los lutrinos son una especie de una gentileza difícil de imaginar, y no opusieron la menor resistencia a la llegada de las babosas espaciales. Cuando el primer Alienígena matemático puso el pie –o el tentáculo– sobre la superficie del planeta lutrino en Arturo, y fue visto por varias de las criaturas aborígenes, los pequeños, peludos y adorables lutrinos se abrazaron tiernamente a los tentáculos inferiores del monstruo, dándole su amor incondicional. Su actitud desconcertó de tal manera al alienígena que tardó varios segundos en comenzar la masacre.

Tan adorables e inofensivos son los lutrinos que, aunque los Alienígenas matemáticos masacraron a unos cuantos miles durante la toma del poder en su planeta, lo hicieron más que nada por mantener su reputación, sin el menor entusiasmo. A esto ayudó el hecho de que los lutrinos son tan monos y adorables como repugnante es su sabor, con lo que poca motivación tenían los babosos monstruos para acabar con ellos. Sin embargo, la conquista fue provechosa porque los lutrinos, como casi todas las especies de la galaxia –excepción hecha de los estultos e inútiles humanos–, tienen una capacidad especial y única. Entender cómo funciona esta peculiar característica de los adorables lutrinos es esencial para razonar sobre la paradoja de hoy, de modo que detengámonos un poco y recapitulemos lo que los xenobiólogos de la galaxia han determinado respecto a los lutrinos.

Estas peludas y monísimas criaturas, además de su entrañable carácter, gozan de una libido sin parangón en el Universo conocido. Si en un lugar determinado hay machos y hembras lutrinos, en poco tiempo el sitio se llena a rebosar de los insaciables seres; estas ansias reproductivas se combinan, por supuesto, con un embarazo y un crecimiento vertiginosos, con lo que los lutrinos deben estar siempre separados los machos de las hembras o contenidos en campos bioestacionarios que evitan la reproducción, o se convierten en una plaga –una plaga adorable, pero plaga al fin y al cabo– en menos que canta un gallo.

Lo realmente peculiar del ritmo reproductivo de los lutrinos es que se va duplicando con cada generación en un lugar determinado. Si en un lugar hay diez lutrinos (machos y hembras mezclados), en una hora habrá otros diez nuevos lutrinos, que siempre serán cinco machos y cinco hembras. Pero, una vez que han empezado a procrear, los lutrinos se lanzan y ya no pueden parar, incestuosa y desordenadamente participan todos. La siguiente generación será una vez más de diez lutrinos, pero sólo tardará media hora en aparecer. La siguiente generación de diez lutrinos sólo tardará quince minutos, etc. Si no se para el asunto separando absolutamente todos los machos de todas las hembras, este ritmo es perfectamente predecible y cada generación de diez lutrinos tardará exactamente la mitad que la anterior en aparecer.

Como consecuencia, por supuesto, la población lutrina a la llegada de los Alienígenas matemáticos era infinita, algo que no cambió tras las escasas bajas producidas durante el proceso. Los tentaculados tiranos del Universo se encontraron, por lo tanto, con una cantidad infinita de criaturas libidinosas que no tenían la menor utilidad culinaria ni militar; para cualquier otra especie galáctica, el carácter adorable de los lutrinos hubiera sido valioso en sí mismo, y los hubieran abrazado sin parar y utilizado como mascotas, ¡son tan monos!, pero los Alienígenas simplemente se veían levemente irritados ante la monería y mimos de los lutrinos. Además, tantos abrazos por parte de criaturas que copulan con tal fruición hacía que los Alienígenas se sintieran francamente incómodos.

 

Lutrino recién nacido.
Lutrino recién nacido.

Pero los ingeniosos y cthulhoides conquistadores pronto encontraron un uso práctico para los lutrinos y su insaciable libido: los experimentos matemáticos, especialmente los que involucraban el concepto de infinito. Podían usarse lutrinos para realizar cualquier experimento, siempre que uno fuera cuidadoso de no mezclar machos y hembras, y siempre había lutrinos adicionales para emplear en los experimentos, por muchos que se utilizasen. De modo que casi todos los laboratorios Alienígenas tenían lutrineras, en las que una cantidad infinita de las criaturas estaba disponible en todo momento gracias a su peculiar y lujuriosa capacidad. Además, dado lo afable del carácter de estas criaturas, era posible entrenarlas para realizar tareas simples –no muy complejas, ya que no se trata de seres demasiado inteligentes–.

Una vez descrita esta entrañable especie, si aún estás leyendo esto –¿qué haces aún leyendo esto, insensato?–, vayamos al experimento multipartito que nos interesa. Imagina, delirante lector, como en otras ocasiones en esta serie, que los malévolos y babosos Alienígenas matemáticos han conquistado la Tierra, y que te encuentras en una habitación con uno de los detestables seres.

“Bienvenido, xuglurz ((El término más similar a “humano” en la lengua alienígena. Estrictamente es una onomatopeya que significa “el ruido que hace el tercer estómago al digerir carne tierna”.))”, te dice el monstruo con voz gorgoteante y húmeda, mientras varios de sus ojos vidriosos se fijan en ti. “Has sido elegido para realizar un pequeño experimento que demuestre tu capacidad intelectual” –en este punto, un ruido burbujeante resuena en la habitación y la criatura se estremece de risa–. “Observa estas dos cajas”.

En efecto, en la habitación hay dos cajas, una verde y otra roja. La caja roja está completamente vacía, y la verde contiene diez lutrinos con números pintados sobre su lomo. Los lutrinos numerados del 1 al 5 son hembras, y los del 6 al 10 son machos. Las criaturas están abrazándose unas a otras de un modo que es adorable y algo desasosegador al mismo tiempo. Tú conoces a estas alturas el comportamiento de los lutrinos, con lo que no te es difícil predecir lo que va a suceder en poco tiempo. En tan sólo una hora habrá otros diez lutrinos en la caja, y luego…

Dadas las reglas de reproducción de los lutrinos, ¿cuánto tiempo pasará hasta que haya infinitas criaturas en la caja? La caja es, por cierto, hiperdimensional, con lo que puede contener un número infinito de lutrinos sin romperse ni que éstos puedan escapar. Afortunadamente para ti, xuglurz, has leído ya el artículo de la lámpara de Thomson, de modo que ya conoces la respuesta, pero piensa –o relee el artículo– antes de seguir leyendo.

Cuando haya pasado una hora habrá 20 lutrinos, cuando haya pasado media hora más habrá 30 lutrinos, cuando hayan pasado 15 minutos más habrá 40 lutrinos, etc. La respuesta a esta primera pregunta es, por tanto, la suma infinita 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16…. horas. Es decir, que cuando hayan pasado dos horas, la caja contendrá infinitos lutrinos.

El Alienígena matemático sonríe mientras te observa razonar. “Desde luego, dentro de dos horas la caja contendría infinitos lutrinos, dados sus desagradables hábitos reproductivos, ése no es el experimento, es una obviedad… pero estos lutrinos, además, han sido entrenados. Observa lo que sucede ahora, bípedo implume.”. Y dicho esto, la criatura se queda simplemente mirando la caja con aproximadamente la mitad de sus ojos amarillos, y a ti con la otra mitad. Los segundos se convierten en minutos, y pronto ha pasado una hora.

A la hora, efectivamente, el número de lutrinos ha aumentado en diez, y veinte adorables bolitas de pelo se mueven en la caja. Al mirar de cerca, observas que los diez lutrinos originales –los que tienen números del 1 al 10 pintados en el lomo– sostienen un rotulador cada uno en las pequeñas patitas, y rápidamente marcan a los siguientes diez lutrinos con ellos: el lutrino número 1 marca uno con el número 11, el 2 a otro con el 12, y así hasta el lutrino número 10, que marca al último lutrino recién nacido con el número 20. Finalmente hay veinte lutrinos marcados con los números del 1 al 20, y los diez lutrinos originales entregan sus rotuladores a los recién llegados.

“Con este entrenamiento”, barbuta el alienígena, “no sólo podemos obtener un número infinito de lutrinos en un par de horas dentro de la caja, sino que además están todos numerados. En media hora, los diez lutrinos nuevos marcarán a los diez que habrán nacido entonces y les pasarán los rotuladores, y así hasta el infinito… muah, hah, ¡HAH HAHHAHAHABLGORRBG!”, ríe el alienígena, desparramando baba ácida por todas partes y haciendo que los lutrinos lo miren, algo asustados. “Pero lo interesante viene ahora, la clave del experimento”, continúa el monstruo.

Y entonces ves cómo el lutrino número 1, tras pasar su rotulador al número 11, salta fuera de la caja verde por una pequeña puertecilla y entra en la caja roja, que estaba inicialmente vacía. De modo que, tras esta primera generación lutrina, la caja verde contiene 19 lutrinos numerados del 2 al 20, y la caja roja contiene un único lutrino, marcado con el número 1.

“Sí, delicioso y tierno xuglurz”, te dice el aberrante ser, agitando sus tentáculos con un placer mórbido. “Ahora la cosa se complica, ¿verdad? En esta caja roja hay un campo bioestacionario que evita que los lutrinos se reproduzcan. De ese modo nos aseguramos de que no aparezcan lutrinos nuevos en la caja roja salvo que entren desde la verde. Observa el proceso.”

Cuando ha pasado tan sólo media hora más, al mirar la caja verde te das cuenta de que han aparecido diez nuevos lutrinos, que son marcados por la generación anterior con los números 21 al 30 e, inmediatamente, el lutrino marcado con el número 2 salta desde la caja verde con determinación y entra dentro de la caja roja, donde su compañero esperaba con cara triste. Los dos lutrinos hembra se abrazan afectuosamente, como si no se hubieran visto en meses. De modo que ahora la caja verde contiene lutrinos de números 3 al 30, y la caja roja los lutrinos de números 1 y 2.

“Como ves, a pesar de ser criaturas estúpidas, lujuriosas y llenas de amor, los lutrinos son exepcionalmente disciplinados en cuanto al entrenamiento se refiere”, te indica la palpitante criatura. “En quince minutos habrá otros diez lutrinos nuevos en la caja verde, marcados del 31 al 40, y el lutrino número 3 habrá salido de la caja verde y entrado en la roja.”

Dicho esto, el alienígena se estremece de placer una vez más, mientras su tonalidad cambia en oleadas lascivas de sensualidad intelectual. “Aquí está el primer enigma, el primer dilema, lo que te convertirá en mi cena si fallas en la respuesta”, gorgotea el monstruo, y con la palabra “cena” su boca derrama cubos enteros de saliva verdosa y maloliente. “Pero se trata aún de una pregunta de fácil respuesta incluso para ti.”

“Pon en marcha tus patéticas células grises, xuglurz, y responde a la siguiente pregunta”, te dice la criatura. “¿Cuántos lutrinos habrá en la caja roja cuando hayan pasado dos horas?”

De modo que, querido xuglurz, razona un momento antes de seguir leyendo, aunque –como dice el monstruo– la respuesta debería ser fácil.

Imagino que la pregunta no te habrá resultado difícil de responder. En la caja roja habrá infinitos lutrinos a las dos horas, ya que se añade uno por cada paso, y en dos horas se han producido infinitos pasos, de modo que habrá infinitos lutrinos en la caja (que no se pueden reproducir mientras estén en ella, por supuesto).

Supongo además que, si has leído la serie hasta ahora, ni siquiera estás viendo aún dónde diablos está la paradoja de Ross-Littlewood; estas primeras preguntas son para servir de base a la paradoja, que llegará pronto… paciencia.

Al oír tu respuesta, el tirano ultradimensional sonríe, revelando docenas de hileras de dientes afilados y recubiertos de babas. “En efecto”, responde con un ronroneo. “En la caja roja habrá infinitos lutrinos. Incluso tu despreciable mente ha sido capaz de resolver este simple enigma. Pero contesta ahora a la segunda pregunta… si fallas, tus huesos crujirán en la cena bajo mis mandíbulas”, continúa la criatura, mientras sus ojos saltones se clavan en ti con cierto anhelo. “¿Cuántos lutrinos habrá en la caja verde a las dos horas?”

Esta pregunta es bastante más difícil de contestar que la anterior, y de hecho constituye la paradoja de Ross-Littlewood en sí misma. Piensa unos minutos sobre qué respuesta darías al alienígena –pero no mucho tiempo, pues la paciencia no es una de sus virtudes–, y sigue leyendo.

En este caso, como en algún otro, no puedo darte una respuesta “correcta”, porque dependiendo de a qué matemático preguntes, te dirá una cosa u otra, y como cualquier supertarea, el experimento no puede realizarse en la práctica pues es físicamente imposible. Lo que sí quiero hacer es razonar contigo para que veas, al menos, que la respuesta no es evidente. Dependiendo de cuál haya sido tu respuesta (si es que has dado una concreta, en vez de sostener que no hay una respuesta correcta o que el problema es absurdo, claro), lee la sección correspondiente.

Si tu respuesta ha sido que la caja verde estará vacía a las dos horas, el contra-argumento es sencillo, y es el que probablemente han utilizado quienes piensan lo contrario (que la caja verde tiene infinitos lutrinos): si en cada paso hay diez lutrinos nuevos y uno abandona la caja verde, en cada paso la caja verde gana 9 lutrinos de forma neta. Por lo tanto, en el paso n habrá 9n lutrinos en la caja verde, y cuando se hayan producido infinitos pasos, la caja verde contendrá infinitos lutrinos. Espero que veas que la respuesta de que la caja verde está vacía no es, en absoluto, evidente, ni quienes sostienen lo contrario unos burros.

Si tu respuesta ha sido que la caja verde contiene infinitos lutrinos a las dos horas, es probable que pienses además que no hay paradoja alguna, ya que la respuesta es muy fácil (al menos, eso me pasó a mí al principio). Antes de tratar de convencerte de que la respuesta no es evidente con argumentos, permite que invoque, aunque esté feo, el principio de autoridad: tanto Ross como Littlewood llegaron a la misma conclusión el uno que el otro, y esa conclusión fue que la caja verde está vacía a las dos horas. Eso no quiere decir nada, pues ambos pueden estar equivocados, pero otra cosa es que estén equivocados en algo absolutamente estúpido. Tanto el uno como el otro son gente sabia e inteligente, de modo que ¿qué es más probable? ¿que el problema sea una estupidez y Ross y Littlewood unos descerebrados, o que el problema sea más complejo de lo que te puede parecer al principio y haya que pensarlo más despacio, como hicieron ellos, incluso aunque no lleguemos a su misma conclusión? Pues eso, pensemos juntos.

Imagino que tu razonamiento habrá sido parecido al contra-argumento que he dado arriba contra la idea de que la caja verde está vacía a las dos horas; fue el de Geli cuando le conté la paradoja, y el mío propio también. Pero hay grietas en esa argumentación.

La primera es la caja roja: la caja roja contiene, en eso creo que estaremos de acuerdo, infinitos lutrinos a las dos horas, pues en cada paso hay un lutrino más que antes y hay infinitos pasos; pero vayamos un poco más allá. ¿Qué números tienen los lutrinos de la caja roja al final?

Ya vimos que el lutrino 1 está tras el primer paso, el lutrino 2 tras el segundo paso, el lutrino 3 tras el tercer paso… tras infinitos pasos, en la caja roja estarán absolutamente todos los números del 1 al infinito. De modo que ¿qué números quedan en la caja verde entonces?

Otra manera de ver esto es la siguiente; si sostienes que la caja verde contiene infinitos lutrinos, retozando unos con otros con abrazos afectuosos (y lujuriosos), y cada uno de esos lutrinos tiene un número en la espalda… ¿cuál es el número más pequeño de lutrino en la caja verde?

Finalmente, el argumento de Littlewood, que es de gran elegancia. Para cualquier número de lutrino, es posible determinar en qué momento sale de la caja verde y entra en la roja. El lutrino 1, una hora antes del final; el lutrino 2, media hora antes del final; el lutrino 3, un cuarto de hora antes del final; el lutrino n, 1/2(n-1) horas antes del final. Para cualquier lutrino que tú sostengas que está en la caja verde puedo no sólo demostrarte que no está en ella, sino en qué instante exacto saltó de la caja verde a la roja.

Por tanto, Littlewood y Ross concluyeron ambos que la caja verde estaría vacía, puesto que absolutamente todos los lutrinos la abandonan en un momento determinado antes de las dos horas. Dado que el número de lutrinos en la caja verde aumenta constantemente durante las dos horas, por supuesto, esta línea de argumentación supone que el número de lutrinos en la caja verde es una función continua… excepto en el punto t = 2 horas, en el que hay una discontinuidad y el número de lutrinos desciende bruscamente hasta cero. En ese instante, todos los lutrinos están en la caja roja.

Sin embargo, otros matemáticos posteriores no han estado de acuerdo con Ross y Littlewood, y sostienen que tanto la caja verde como la roja contienen infinitos lutrinos, y que los de la caja verde tienen pintados números infinitamente grandes en la espalda, de modo que no tiene sentido tratar de dar un número de dorsal “más pequeño”.

El quid de la cuestión está, por supuesto, en que el concepto de infinito es algo que nuestras patéticas mentes xuglurz no pueden aprehender, simplemente se nos escapa, y de ahí que sea una fuente inagotable de paradojas como ésta, y que todavía los matemáticos sigan discutiendo al respecto, y los legos como tú y yo disfrutando con ello… y más aún los Alienígenas matemáticos, para quienes el infinito no tiene misterios, aunque lo utilicen para su propio deleite sádico.

Porque, cuando das tu respuesta –haya sido la que haya sido–, el monstruo galáctico sonríe y cubre las dos cajas con sendas mantas opacas, y mira un reloj de extraña forma en la pared. “Esperemos las dos horas, entonces”, te dice con una voz peligrosamente suave, mientras un olor a amoníaco inunda la habitación. Sus ojos se cierran y el ser se pierde en sus propias cavilaciones para pasar el tiempo, mientras tú observas el reloj y las mantas.

Y, a las dos horas, la criatura abre sus docenas de ojos amarillos como una cascada, y sonríe de nuevo haciendo que los tiburones parezcan casi tiernos en su sonrisa. “Retira las mantas pues”, te invita con voz sibilante.

Y revelas la caja roja, en la que infinitos lutrinos te miran con ternura, entrelazados en abrazos afectuosos.

Y revelas la caja verde, y las enormes mandíbulas del Alienígena matemático se cierran sobre ti.

En la próxima entrega de la serie, el problema de los dos niños.

Para saber más:

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Créditos: Pedro Gómez-Esteban González. (2009). El Tamiz. Recuperado de: https://eltamiz.com/

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