Lutrinos 2.0

Desgraciadamente para todos, una vez más llega un artículo de Alienígenas matemáticos, la serie surrealista, mórbida e inane en la que la matemática más cthuloide hace su aparición en El Tamiz. Si no conoces esta serie, es mejor que sigas así: cierra esta ventana, ve atrás en el navegador o, en último caso, cierra los ojos mientras cantas una jota pero no sigas leyendo. Dicho lisa y llanamente, la lectura de cualquiera de estos artículos es ortogonal a cualquier uso práctico del tiempo que requiere. ¡Hasta luego!

¿Ya se han ido? Bien, entonces sigamos hablando de números irracionales y su aparición donde uno menos lo espera, como hicimos en los últimos dos artículos de la serie, dedicados al número e; en el primero obtuvimos su valor a partir del interés compuesto, y en el segundo lo hicimos mediante probabilidad. Hoy haremos algo parecido (vamos, perder el tiempo de mala manera jugando con números absurdos) pero con un número que, aunque es irracional, no es trascendente como el número e –es decir, el de hoy puede obtenerse como la raíz de un polinomio con coeficientes enteros, aunque eso es lo de menos ahora–. Podríamos obtenerlo de muchas maneras diferentes, pero lo haremos empezando con el razonamiento que hizo el italiano Leonardo de Pisa, más conocido por otro nombre, en su Liber Abaci (Libro de cálculo) de 1202.

Pero, naturalmente, no lo haremos exactamente como hizo Leonardo, una persona inteligente y sensata.

Lutrinos 2.0

Desde hacía unos cuantos meses, Aknahariv VI se había convertido en un planeta-laboratorio. Situado lejos de las rutas más transitadas en el brazo de Orión, Aknahariv poseía varios planetas rocosos estériles y uno, el sexto, con vida vegetal y una atmósfera de oxígeno-nitrógeno. Un lugar idílico, ocupado por una única especie animal, los gaturrinos, seres pequeños y adorables con aspecto de gatito juguetón. Naturalmente, tras la invasión de Aknahariv VI por parte de los Alienígenas matemáticos, los gaturrinos fueron exterminados uno a uno con gran placer – su sabor, desgraciadamente, era más bien soso, pero hay pocas cosas que le gusten más a un Alienígena matemático que matar gatitos.

El caso es que, una vez despejado el planeta, se convirtió en un lugar idóneo para realizar diversos experimentos matemáticos por parte de los horribles Señores de la Galaxia. El último de ellos era una modificación de otros anteriores, ya que el Virrey de Aknahariv, Odranoel Iccanobif, estaba obsesionado con el crecimiento poblacional y especialmente con los lutrinos. Si no conoces a estas peludas y abrazables criaturas, se trata de pequeños seres de una gentileza sólo comparable a su lascivia, y han sido protagonistas ya de una historia narrada en esta misma serie, cuando hablamos sobre la paradoja de Ross-Littlewood. El afán reproductor de los lutrinos los ha hecho famosos en toda la Vía Láctea, como también el hecho de que criaturas tan pacíficas y adorables no fueran exterminadas por los Alienígenas como sucedió, por ejemplo, con los pobres gaturrinos.

Lutrino recién nacido.
Lutrino recién nacido.

Lutrino 1.0, tan adorable como versiones posteriores.

El Virrey Odranoel consideraba que parte del problema de experimentar con lutrinos era la velocidad creciente de su reproducción, si no estaban en condiciones controladas, de modo que encargó a su experimentador en jefe y genio bioquímico (pero no matemático, lo cual supondría su destitución como veremos en un momento), el Decano Tenib, una modificación genética de los lutrinos para suavizar un poco su ritmo reproductivo. Y nuestra historia comienza, precisamente, cuando el Decano Tenib mostraba los resultados a su impaciente y baboso jefe.

“Aquí tiene a lo que llamo, humildemente, Lutrinos 2.0, su Vileza”, anunció el Decano al Virrey Odranoel con voz melosa. “Se trata de una especie mejorada, de ritmo reproductivo más predecible.”

El Virrey examinó el pequeño corral a sus pies, donde una pareja de las criaturas –en apariencia exactamente iguales a los lutrinos normales– correteaba, jugando y retozando en la hierba y, de vez en cuando, abrazándose con un afecto que rondaba otras emociones.

“No sé, no sé…“, respondió Odranoel. “Por la manera en que se miran, yo creo que siguen siendo tan afectuosos y lascivos como siempre. ¿Está seguro, Decano?”

“Sí, su Maleficencia”, se apresuró a contestar el otro. “Hemos realizado múltiples pruebas. Los Lutrinos 1.9 eran aún defectuosos y hubo que… cambiar de versión. ¿No recuerda la cena del miércoles?”

Ambos seres se relamieron, rezumando babas humeantes, ante el recuerdo. “Sí, ya me acuerdo. Tal vez defectuosos reproductivamente, pero muy superiores a los normales en otros aspectos. Pero no cambie de tema: ¿se reproducen éstos a un ritmo constante?”

“Como un reloj, Babosidad, como un reloj”, respondió obsequioso Tenib. “Cuando ha pasado una hora exactamente, la pareja empieza a… ah, ya están en ello. Bueno, como ve, ha sido exactamente a la una, como era de esperar.”

Ambas criaturas esperaron unos segundos en silencio respetuoso y, para qué negarlo, algo incómodo.

“¿Y ahora?”, preguntó el impaciente Odranoel. “¿Cuánto tiempo hasta el parto?”

“Exactamente una hora más tarde, la hembra dará a luz a dos adorables Lutrinos 2.0”, anunció el Decano. “Puedo asegurarle que uno será un macho y la otra, una hembra. Es siempre así. E inmediatamente, los padres volverán a enzarzarse en su actividad preferida, como un reloj.”

“De modo que, desde que esa pareja es puesta en el corral, a la hora sigue habiendo una pareja, pero la hembra está embarazada”, razonó el Virrey. “A las dos horas se produce un parto, e inmediatamente la madre vuelve a quedar embarazada; en ese momento tenemos dos parejas.”

“Efectivamente, su Malignidad”, asintió el Decano Tineb vigorosamente, duchando a los lutrinos con sus babas. “A las tres horas, por lo tanto, la pareja original produce otra pareja de Lutrinos 2.0, y lo mismo sucederá cada hora sucesiva, ya que nunca dejan de… bueno, ya sabe.”

“¿Y los hijos?”, preguntó el Virrey. “Déjeme adivinar: hacen exactamente lo mismo que los padres.”

“Pues sí, ya sabe que los lutrinos no tienen demasiados remilgos en ese aspecto. A la hora de nacer, la segunda pareja entrará en acción, como hicieron los padres, y a las dos horas de nacer, y cada hora sucesiva, producirán una pareja más de Lutrinos 2.0, que harán exactamente lo mismo.”

“De modo que cada vez habrá más parejas de lutrinos. Inicialmente hay una pareja; pasada una hora sigue habiendo una pareja; pasadas dos horas, hay dos parejas. Pasadas tres horas hay tres parejas, y pasadas cuatro horas hay cinco parejas, ya que ahí tanto los padres originales como la primera pareja de hijos han tenido una pareja cada uno.”

“Su inteligencia me ilumina como una hipergigante azul”, lo aduló Tineb, agitando los tentáculos servilmente y cambiando a un color azul pastel de sumisión y admiración exageradas.

Aquí es donde debemos detenernos un momento, sufrido y paciente lector –por cierto, ¿qué demonios haces aún leyendo esta estupidez?–, porque me toca hacerte pensar. ¿Eres capaz de construir una tabla que muestre el número de parejas en función del tiempo hasta, por ejemplo, diez horas tras el comienzo? Es precisamente lo que haremos tras la pausa, así que si te apetece estrujarte las neuronas un rato, hazlo antes de seguir leyendo.

“Aquí tiene la tabla con la predicción del número de parejas en función del tiempo, su Tentacularidad”, prosiguió el Decano Tineb, mostrando al otro la siguiente tabla:

HorasParejas

0 1

1 1

2 2

3 3

4 5

5 8

6 13

7 21

8 34

9 55

10 89

“Por supuesto”, asintió el Virrey Odranoel . “Si quiero saber cuántas parejas de lutrinos habrá a las diez horas, por ejemplo, el número será igual al que había a las 9 horas más las que nacerán ahora, que serán una pareja por cada una que existía a las 8 horas. Así, 21 + 34 = 55, y 34 + 55 = 89.”

“¡Efectivamente, efectivamente!”, se entusiasmó Tineb. “A las once horas, por ejemplo, habrá 55 + 89 parejas, es decir, 144 parejas. Si llamamos L(n) al número de lutrinos a las n horas, entonces L(n) = L(n-1) + L(n-2). Algo evidente para su Babosidad.”


Algo evidente también, por cierto, para el buen Leonardo de Pisa, comúnmente conocido como Fibonacci, en honor a quien esta secuencia recibe el nombre, para los humanos, de sucesión de Fibonacci. Por si quieres jugar con ella, aquí tienes un programita en python, suficientemente simple para que puedas transformarlo en lo que te dé la gana, que calcula los primeros cien números de Fibonacci –puede cambiarse para que calcule menos o más, claro–: fibonacci.zip. Verás que hay dos programas dentro; luego utilizaremos el otro, pero por ahora el que quieres emplear es fibonacci.py. Si simplemente quieres ver el resultado y no jugar con el programa, puedes hacerlo en el navegador con la versión javascript que ha creado Unai: https://eltamiz.com/files/fibonacci.html

Sin embargo, el objetivo de este artículo no es tanto llegar a la sucesión de Fibonacci como, a través de ella, a un número irracional de esos que atacan por sorpresa… y, para eso, debemos continuar con nuestra historia. Pero, antes de entrar en números irracionales, un paréntesis para ver si eres capaz de hincarle el diente a otro problema de este tipo:


“También hemos preparado una versión alternativa de los nuevos Lutrinos, con un método de reproducción diferente”, continuó el Decano. “Hemos tratado de compensar el ansia reproductiva haciendo una versión ovípara de los Lutrinos –a los que llamo, humildemente, Lutrinos 2.1–, capaces además de realizar la partenogénesis, es decir, la producción de una cría sin necesidad de fecundación.”

El Virrey arqueó unas cuantas cejas mientras sus tentáculos se entrelazaban de curiosidad. “¿Sí? ¿Y el resultado?”

“El resultado es interesante, Malignidad. Cuando una Lutrina 2.1 se aparea con un macho, produce un huevo fecundado que da lugar siempre, sin excepción, a otra hembra. Sin embargo, cuando la Lutrina 2.1 no se aparea con un macho sino que permanece sola, produce un huevo partenogenético que da lugar siempre, sin excepción, a un macho. La dificultad de conseguir que no se produzca el apareamiento es tremenda, dada la lascivia de estas pequeñas criaturas, pero hemos logrado ya muchas generaciones de este modo.”

Tineb acompañó al Virrey hasta un pequeño redil donde un macho trotaba de un lado a otro.

“Este macho, por ejemplo, pertenece a la vigésima generación de Lutrinos 2.1. Por lo tanto, ha tenido únicamente una madre y, por tanto, dos abuelos –un macho y una hembra–, con lo que…“

“Claro, claro”, interrumpió el Virrey con un gorgoteo impaciente. “¡Soy perfectamente capaz de calcular el número de ancestros, subserviente, en dos generaciones o en las que sean!”


¿Y tú, subcriatura? ¿Eres capaz de calcular cuántos tátara-tátara-tátara… abuelos tiene el Lutrino 2.1 del redil? Piensa un momento y luego sigues leyendo.

Dado que el lutrino es un macho, es el resultado de un parto sin fecundar, con lo que tiene una madre. Ésta, al ser hembra, tiene un padre y una madre, es decir, el lutrino tiene dos abuelos. Ese padre tuvo sólo una madre, mientras que la hembra –la abuela– tuvo un padre y una madre, con lo que el lutrino tuvo tres tatarabuelos. Si lo ponemos en notación matemática, el número de lutrinos antepasados en cada caso es L(0 generaciones atrás) = 1 (el mismo lutrino), L(1 generación atrás) = 1 (su madre), L (2 generaciones atrás) = 2 (sus dos abuelos), L(3) = 3, L(4) = 5, etc.

¡Es la secuencia de Fibonacci una vez más! El número de ancestros veinte generaciones atrás, si lo miras utilizando el programita de antes, resulta ser 6765. Esto es lo que sucede, por cierto, en el caso de las abejas, ya que los zánganos son el resultado de partenogénesis mientras que las reinas –y las obreras, dependiendo de la alimentación como larvas– provienen de un huevo fecundado. Tal vez a ti todo esto te parezca una tontería, pero yo disfruté como un enano con ello.

Por fin, sigamos hasta llegar al número irracional de hoy.


“Olvidemos estos lutrinos ovíparos por un momento y volvamos a los anteriores. Veo, por lo tanto, que el aumento poblacional de lo que usted, humildemente, llama Lutrinos 2.0 no es tan rápido ni exagerado como el de los originales, efectivamente”, anunció el Virrey. “Observando el número de Lutrinos al cabo del tiempo…“, y el monstruo consultó la tabla de evolución poblacional de antes:

HorasParejas

0 1

1 1

2 2

3 3

4 5

5 8

6 13

7 21

8 34

9 55

10 89

“Durante la primera hora, el número de lutrinos se mantiene constante. Durante la segunda hora, el número de lutrinos se duplica, ya que pasamos de uno a dos; dicho de otro modo, aumentan en un factor de 2.”

“Indudablemente, indudablemente”, asintió el Decano Tineb soltando babas por todas partes y alternando entre diversos colores de sumisión.

“Sin embargo, durante la tercera hora pasamos de 2 a 3 lutrinos, es decir, un factor de 1,5, algo menor que antes. Curioso, ¿verdad?”

“¡Muchísimo!”, exclamó Tineb agitando los tentáculos, a pesar de no tener ni idea de por qué iba a ser eso interesante.

“En la cuarta hora se pasa de 3 a 5 lutrinos, un factor de 1,666…, y en la quinta hora de 5 a 8, es decir, un factor de 1,6. Haga una tabla, Tineb.” Y El Decano, por supuesto, se apresuró a realizar una tabla parecida a la anterior, marcando el factor de aumento en cada paso (con cinco decimales para no hacerlo farragoso):

HorasFactor de aumento

0

1 1

2 2

3 1,5

4 1,66667

5 1,6

6 1,625

7 1,61538

8 1,61905

9 1,61765

10 1,61818

“¡Qué interesante, señor!”, gorgoteó el Decano al mirar la tabla. “¡Es realmente fascinante!”

“¿Ah, sí?”, preguntó el Virrey mientras se erguía –hasta donde puede erguirse una criatura sin espina dorsal–, haciendo evidente su mayor tamaño. “Y… ¿por qué es fascinante, exactamente?”, preguntó con voz ronroneante y acariciadora mientras un ligero olor a amoníaco se extendía a su alrededor y hacía temblar a su contertulio.

“Pu… pu… pues…“, balbuceó Tineb.

“¿Le importa hacer un cálculo más?”, preguntó Odranoel, a lo que el otro asintió rápidamente, aún esperanzado de poder salvar la vida.

“Como puede ver en la tabla, el factor de aumento cambia todo el tiempo, pero ¿no nota que la diferencia entre uno y el siguiente, pasado cierto punto inicial, va disminuyendo?”

El Decano asintió, algo confuso, y realizó una tabla con la diferencia entre un factor y el anterior:

HorasDiferencia de factores

0

1

2 1

3 0,5

4 0,16667

5 0,06667

6 0,025

7 0,00962

8 0,00367

9 0,0014

10 0,00053

“Sí, la diferencia disminuye… es como… es como si el factor se fuera acercando más y más al valor “real” de crecimiento de los lutrinos, pero… ¿qué valor es?”, preguntó Tineb, variando su coloración de manera espasmódica mientras un sudor pegajoso y telúrico cubría su piel temblorosa. En su mente podía ver –pues era, al fin y al cabo, un Alienígena matemático– la representación gráfica del factor de crecimiento en función del tiempo y, efectivamente, al principio el factor variaba mucho pero luego, poco a poco, iba tendiendo a un valor fijo:

 

Gráfica
Gráfica obtenida mediante Wolframalpha.

Y, justo cuando sus docenas de ojos empezaban a abrirse, alcanzando la comprensión tras calcular el factor unos cuantos pasos más allá, las enormes fauces del Virrey Odranoel Iccanobif, mayores que el cuerpo entero del Alienígena menor y armadas con varias hileras de dientes tan afilados como cuchillas, se cerraron sobre él.

Pasado un tiempo –pues los Alienígenas matemáticos son crudelísimos, pero también educados, y no suelen hablar con la boca llena–, el Virrey suspiró con cierta decepción.

“Un Decano que no es capaz de ver la razón áurea cuando la tiene delante de las mandíbulas”, afirmó –aunque se encontraba ya, por supuesto, solo– “no merece ese puesto.”

Los Lutrinos 2.0, ajenos al drama que se acababa de desarrollar ante ellos, se abrazaban afectuosamente y… bueno, avanzaban a lo largo de la sucesión. Leonardo de Pisa hubiera estado orgulloso.


Si quieres ver con tus propios ojos lo que el pobre Tineb casi logró ver, puedes jugar con el segundo programita python incluido en el archivo .zip, fibonacci2.py. Éste muestra el factor de crecimiento para cada paso de la sucesión y la diferencia con el anterior, como la tabla de arriba pero hasta 50 pasos. Como puedes ver, llega un momento en el que la diferencia es minúscula, y muy pronto se alcanza la razón áurea con un buen puñado de decimales: 1,61803398875…

Una vez más, tal vez esto te parezca una tontería o algo evidente, pero la aparición así, a la emboscada, de números irracionales como e o esta razón áurea, me parece fascinante, como si las matemáticas jugasen con nosotros.

Por cierto, Tineb fue reemplazado, pero los experimentos con lutrinos continuaron y nadie hubiera podido sospechar que… pero no, eso es otra historia, y tendrá que esperar a otra ocasión.

Para saber más:

__________

Créditos: Pedro Gómez-Esteban González. (2009). El Tamiz. Recuperado de: https://eltamiz.com/

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